第二课时 导数的运算法则
预习课本P15～18，思考并完成下列问题
(1)导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？
(2)复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什么？
[新知初探]
1．导数的四则运算法则
(1)条件：f(x)，g(x)是可导的．
(2)结论：①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． ②[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． ③?
?fx?′＝f′xgx－fxg′x(g(x)≠0)．
?2
[gx]?gx?
[点睛] 应用导数公式的注意事项
(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算． (2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． (3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．
(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．
2．复合函数的求导公式
(1)复合函数的定义：①一般形式是y＝f(g(x))． ②可分解为y＝f(u)与u＝g(x)，其中u称为中间变量．
(2)求导法则：复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为：yx′＝yu′·ux′.
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x)＝2x，则f(x)＝x.( )
(2)函数f(x)＝xe的导数是f′(x)＝e(x＋1)．( ) (3)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．( )
xx2
1
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．函数y＝sin x·cos x的导数是( ) A．y′＝cos 2x＋sin 2x C．y′＝2cos x·sin x 答案：B
3．函数y＝xcos x－sin x的导数为________． 答案：－xsin x
4．若f(x)＝(2x＋a)，且f′(2)＝20，则a＝________. 答案：1
利用导数四则运算法则求导
[典例] 求下列函数的导数：
cos x23x(1)y＝x＋log3x；(2)y＝x·e；(3)y＝.
2
B．y′＝cos 2x D．y′＝cos x·sin x
x[解] (1)y′＝(x＋log3x)′＝(x)′＋(log3x)′ ＝2x＋
1
. xln 3
3
22
(2)y′＝(x·e)′＝(x)′·e＋x·(e)′ ＝3x·e＋x·e＝e(x＋3x)． (3)y′＝?＝
2
x3x3xx3xx32
?cos x?′＝cos x′·x－cos x·x′
?x2?x?
xx－x·sin x－cos xxsin x＋cos x＝－. 22
求函数的导数的策略
(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． [活学活用] 求下列函数的导数：
e
(1)y＝sin x－2x；(2)y＝cos x·ln x；(3)y＝.
sin x2
x解：(1)y′＝(sin x－2x)′＝(sin x)′－(2x)′＝cos x－4x.
22
2
(2)y′＝(cos x·ln x)′＝(cos x)′·ln x＋cos x·(ln x)′ cos x＝－sin x·ln x＋.
xxxxe?e′·sin x－e·sin x′?(3)y′＝? ?′＝2
sin x?sin x?
e·sin x－e·cos xe
＝＝2
sinxxxxsin x－cos x 2
sinx复合函数的导数运算
[典例] 求下列函数的导数： (1)y＝
11－2x2
；(2)y＝e
sin(ax＋b)
；
π?2?(3)y＝sin?2x＋?；(4)y＝5log2(2x＋1)． 3??12
[解] (1)设y＝u－，u＝1－2x，
2
1?13?2
则y′＝(u－)′ (1－2x)′＝?－u－?·(－4x)
2?22?13322
＝－(1－2x)－ (－4x)＝2x(1－2x)－.
222(2)设y＝e，u＝sin v，v＝ax＋b， 则yx′＝yu′·uv′·vx′＝e·cos v·a ＝acos(ax＋b)·e
sin(ax＋b)．
uu
π2
(3)设y＝u，u＝sin v，v＝2x＋，
3则yx′＝yu′·uv′·vx′＝2u·cos v·2 2π??＝4sin vcos v＝2sin 2v＝2sin?4x＋?. 3??(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1， 则y′＝5(log2u)′·(2x＋1)′ ＝
1010
＝. uln 22x＋1ln 2
1．求复合函数的导数的步骤
3
2．求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数．
(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点． [活学活用]
求下列函数的导数：
(1)y＝(3x－2)； (2)y＝ln(6x＋4)； (3)y＝e
2x＋1；
2
(4)y＝2x－1；
π??2
(5)y＝sin?3x－?；(6)y＝cosx.
4??
解：(1)y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝18x－12； 13
(2)y′＝·(6x＋4)′＝；
6x＋43x＋2(3)y′＝e
2x＋1
·(2x＋1)′＝2e
2x＋1
；
11
(4)y′＝·(2x－1)′＝ .
22x－12x－1
π??π?π???(5)y′＝cos?3x－?·?3x－?′＝3cos?3x－?.
4??4?4???(6)y′＝2cos x·(cos x)′＝－2cos x·sin x＝－sin 2x.
与切线有关的综合问题
π2
[典例] (1)函数y＝2cosx在x＝处的切线斜率为________．
12(2)已知函数f(x)＝ax＋ln x的导数为f′(x)， ①求f(1)＋f′(1)．
②若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．
[解析] (1)由函数y＝2cosx＝1＋cos 2x，得y′＝(1＋cos 2x)′＝－2sin 2x，所π?π?以函数在x＝处的切线斜率为－2sin?2×?＝－1. 12?12?
答案：－1
2
2
4
(2)解：①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 12
由f(x)＝ax＋ln x，得f′(x)＝2ax＋，
x所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.
②因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈1
(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点，
x1
即f′(x)＝0?2ax＋＝0有正实数解，
x即2ax＝－1有正实数解，故有a<0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)．
关于函数导数的应用及其解决方法
(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．
(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．
[活学活用]
1532
若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x和y＝ax＋x－9都相切，则a的值为( )
425
A．－1或－
64725C．－或－
464
21
B．－1或 47
D．－或7
4
3
3
2
解析：选A 设过点(1,0)的直线与曲线y＝x相切于点(x0，x0)， 则切线方程为y－x0＝3x0(x－x0)，即y＝3x0x－2x0. 3
又点(1,0)在切线上，代入以上方程得x0＝0或x0＝.
2当x0＝0时，直线方程为y＝0.
15252
由y＝0与y＝ax＋x－9相切可得a＝－.
46432727
当x0＝时，直线方程为y＝x－.
244
2727152
由y＝x－与y＝ax＋x－9相切可得a＝－1.
444
3
2
2
3
5
高中数学第一章导数及其应用1.2导数的计算第2课时导数的运算法则教学案新人教A选修2-2
