高二数学函数的极值与导数(一)学案答案

函数的极值与导数学案答案

【课前预习】4.B 5.B 6.D 【范例延展】

例题1. 解 f′(x)＝3x2－6x－9.

2

解方程3x－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 f′(x) ＋ 0 － 0 f(x) ↗ 10 ↘ －22 (3，＋∞) ＋ ↗ 由表可知：当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝10. 当x＝3时，f(x)有极小值f(3)＝－22. 跟踪训练1

3333?x－1?

（1）解 函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2＋＝. xxxx2

令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ 3 ↗ 因此当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝3. (2)函数f(x)的定义域为R. f′(x)＝2xex－x2ex＝x(2－x)ex. 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x f′(x) f(x) (－∞，0) － ↘ 0 0 极小值 (0,2) ＋ ↗ 2 0 极大值 (2，＋∞) － ↘ －

－

－

由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且极小值为f(0)＝0. 当x＝2时，函数有极大值，且极大值为f(2)＝4e2. 例2解 f′(x)＝[[[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]]ex. 令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2， 2

由a≠知－2a≠a－2.

3分以下两种情况讨论： 2

①若a>，则－2a

3

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x f′(x) f(x) (－∞，－2a) ＋ ↗ －2a 0 极大值 (－2a，a－2) － ↘ a－2 0 极小值 (a－2，＋∞) ＋ ↗ －

所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数，函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea2. 2

②若a<，则－2a>a－2.

3

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x f′(x) f(x)

所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函数，在(a－2，－2a)上是减函数，函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea2，函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae

－2a

－

－

－2a

，函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a

(－∞，a－2) ＋ ↗ a－2 0 极大值 (a－2，－2a) － ↘ －2a 0 极小值 (－2a，＋∞) ＋ ↗ .

反思与感悟 讨论参数应从f′(x)＝0的两根x1，x2相等与否入手进行． a

跟踪训练2解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－. x2

(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，

x因而f(1)＝1，f′(1)＝－1.

所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. ax－a

(2)由f′(x)＝1－＝，x>0，知

xx

①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值； ②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a. 又当x∈(0，a)时，f′(x)<0， 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，

从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值． 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；

当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值． 例3解析 (1)若a<－1，因为f′(x)＝a(x＋1)(x－a)， 所以f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增， 所以f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；

若－1

若a>0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意不符，故选D. (2)因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，

???f′?－1?＝0，?3－6a＋b＝0，所以?即?

?f?－1?＝0，???－1＋3a－b＋a2＝0，?a＝1，?a＝2，??解得?或?

??b＝3b＝9.??

当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0， 所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．

当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)． 当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数， 当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，

所以f(x)在x＝－1处取得极小值，因此a＝2，b＝9. 跟踪训练3 解 (1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x， a

∴f′(x)＝＋2bx＋1，

x

a

∴f′(1)＝f′(2)＝0，∴a＋2b＋1＝0且＋4b＋1＝0，

221

解得a＝－，b＝－. 36

21

(2)由(1)可知f(x)＝－ln x－x2＋x，

36且定义域是(0，＋∞)，

?x－1??x－2?2－1

f′(x)＝－x1－x＋1＝－. 333x

当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,2)时，f′(x)>0； 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0.

故x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点. 【当堂检测】1. D 2.D 3. 0 4.解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，

f′?1?＝3，3＋2a＋b＝3，????

由题意知??2?即?44

???f′?3?＝0，?3＋3a＋b＝0，

?a＝2，?

解得?则a＋b＝－2.

?b＝－4，?

b5.解 (1)f′(x)＝2ax＋，

x