专题复习(七) 几何图形综合题
几何图形综合题是四川各地中考的必考题，难度较大，分值也较大，要想在中考中取得较高的分数，必须强化这类题目的训练．
题型1 与三角形、四边形有关的几何综合题 类型1 操作探究题
(2015·南充)如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到
点A，B和D的距离分别为1，22，10.△ADP沿点A旋转至△ABP′，连PP′，并延长AP与BC相交于点
Q.
(1)求证：△APP′是等腰直角三角形； (2)求∠BPQ的大小； (3)求CQ的长．
【思路点拨】 (1)利用旋转相等的线段、相等的角△APP′是等腰直角三角形；(2)利用勾股定理逆定理证△BPP′是直角三角形，再利用(1)的结论，得∠BPQ的大小；(3)过点B作BM⊥AQ于M，充分利用等腰直角三角形、直角三角形的性质，特别是锐角三角函数，先求得正方形的边长和BQ的长，进而求得CQ的长度．
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【解答】 (1)证明：由旋转可得：AP＝AP′，∠BAP′＝∠DAP. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°.
∴∠PAP′＝∠PAB＋∠BAP′＝∠PAB＋∠DAP＝∠BAD＝90°. ∴△APP′是等腰直角三角形．
(2)由(1)知∠PAP′＝90°，AP＝AP′＝1， ∴PP′＝2. ∵P′B＝PD＝10，PB＝22， ∴P′B2＝PP′2＋PB2. ∴∠P′PB＝90°.
∵△APP′是等腰直角三角形， ∴∠APP′＝45°.
∴∠BPQ＝180°－90°－45°＝45°. (3)过点B作BM⊥AQ于M.
∵∠BPQ＝45°，∴△PMB为等腰直角三角形． 由已知，BP＝22，∴BM＝PM＝2. ∴AM＝AP＋PM＝3. 在Rt△ABM中，
AB＝AM2＋BM2＝32＋22＝13.
AMAB313
∵cos∠QAB＝AB＝AQ，即＝AQ，
13
13
∴AQ＝3.
2
在Rt△ABQ中，BQ＝AQ2－AB2＝313. 213
∴QC＝BC－BQ＝13－313＝3.
1．图形的旋转涉及三角形的全等，会出现相等的线段或者角．若旋转角是直角，则会出现等腰直角三角形，若旋转角是60度，则会出现等边三角形．
2．旋转的题目中若出现三条线段的长度，则不妨考虑通过旋转将条件集中，看是否存在直角三角形．
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1．(2015·自贡)在△ABC中，AB＝AC＝5，cos∠ABC＝3
5，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A1B1C.
图1 2
(1)如图1，当点B1在线段BA延长线上时． ①求证：BB1∥CA1；
②求△AB1C的面积；
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图
2016中考数学八大题型集训：专题复习(七)几何图形综合题题型与三角形四边形有关的几何综合题
