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1.设?是数域P上线性空间V的线性变换且
（1）?的特征值为1或0；（2）
?12?,证明:
(0)????A(?)??V?;（3）
V??1(0)?(V).
6.
2设
An为
n阶方阵，
W?1?x?Rnn|Ax?01?2，
W??x?R|(A?E)x?0证明
?A为幂等矩阵，则R?W?W.
2.已知?是n维欧氏空间的正交变换，证明：?的不变子空间W的正交补W?也是?
的不变子空间．
7.若设W=
?f(x)f(1)?0,f(x)?R[x]nn?,
证明：W是
R[x]的子空间，并求出W的一组基及维数.
3.已知复系数矩阵
A??1?0??0??021003210???， （1） 求矩阵2??1?43A的行列式因子、不变因子
8.设V是一个n维欧氏空间，?1和初等因子；（2）若当标准形.（15分）
,?,2,?为V中的正交向量组，令
mW???(?,?)?0,??V,i?1,2,i,m?
?（1）证明：W是V的一个子空间；（2）证明：W?L??,?,12,?m?.
4.已知二次型
f(x1,x2,x3)?2x1?3x2?3x3?2ax2x3222222，
(a?0)通过某
个正交变换可化为标准形A的特征多项式，并确定
a的值； （2）求出作用的正交变换.
（1）写出二次型对应的矩阵A及f?y1?2y2?5y3，
?3?19.试求矩阵A???3??4?110?10053??0?的特征多项式、最小多项式. ?3???1?01 / 101 / 101 / 10
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10.在线性空间
Pn中定义变换?n：?(x1,x,2,x)?(0,x,n2,x)
n（1）证明：?是
P的线性变换.（2）求值域?(P)及核?(0)的基和维数.
n?114.设R?2??14的线性变换?在标准基下的矩阵为A????1??1?121?1?112?1???， ?1??2?1?1（1）求?的特征值和特征向量， （2）求
R4的一组标准正交基，使?在此基下的矩阵为对角矩阵.
11.证明二次型的.
f(x1,,xn)?n?xi?(?xi) (n?2)是半正定
i?1i?1n2n2
12.求
?的值，使
f(x1,x2,x3,x4)??(x1?x2?x3)?2x1x2?2x2x3?2x1x3?x42222
是正定二次型. （12分）
15.设?1,?,?,?是四维线性空间V的一组基，线性变换?在这组基下的矩阵为
234?1??1A???1??2022?22151?3??（1）求线性变换?的秩，（2）求线性变换?核与值域. 5???2?113.设
?1?A??3????21?3?2?1?3?（1）求A的不变因子.（2）求A的若当标准形. ??2?2 / 102 / 102 / 10
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16.求正交变换使二次型2x?4xx?x?4xx化为标准形，并判定该二次型是
112223否正定.
22
19.
17.设
设
?
是
线
性
3空间
R3上的线性变，
换求
，?
满在
足基
e,e,12,e是5维的欧几里得空间
5R15的一组标准正交基，
???(x,y,z)?R,(?)?(x?y,y?z,z?x)?V?L(?,?,?)，其中
1123??e?e,???e?e?e,?123224?(0,1,1)?,(1,0,1)?,(1,1,0)??下的矩阵.
3，求V的一组
1?4e?5e?e125标准正交基.
20.设?是
n维线性空间V1上的线性变换，?1,?,2,?是V的一组基.
n如果?是单射，则
?,?,2,?n也是一组基.
18. 设A?(a)是
ijn?n矩阵，其中aij??a,i?j 1,i?j21.二次型
f(x,x,x)?2xx?2xx?2xx，1）写出二次型f的矩阵A；
123121323（1）求
detA的值；（2）设W??XAX?0?，求W的维数及W的一组基.
2）求出A的特征值与特征向量；3）求一正交变换，将
f化为标准形.
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研究生高等代数复习题
