所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执
专题06 确定抽象函数单调性解函数不等式
【高考地位】
函数的单调性是函数的一个非常重要的性质，也是高中数学考查的重点内容。而抽象函数的单调性解函数不等式问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类抽象函数单调性及其应用问题的基本方法。 【方法点评】
确定抽象函数单调性解函数不等式
使用情景：几类特殊函数类型
解题模板：第一步 （定性）确定函数f(x)在给定区间上的单调性和奇偶性； 第二步 （转化）将函数不等式转化为f(M)?f(N)的形式；
第三步 （去f）运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；
第四步 （求解）解不等式或不等式组确定解集；
第五步 （反思）反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范.
例1 已知函数f?x?是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的实数x1,x2，且x1?x2，不等式
x1f?x1??x2f?x2??x1f?x2??x2f?x1?恒成立，则不等式?x?1?f?1?2x??0的解集为__________．
【答案】??1,??1??. 2?例2.已知定义为R的函数f?x?满足下列条件：①对任意的实数x,y都有：
f?x?y??f?x??f?y??1；②当x?0时，f?x??1．
（1）求f?0?；
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 1
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执
（2）求证：f?x?在R上增函数；
（3）若f?6??7,a??3，关于x的不等式f?ax?2??fx?x2?3对任意x???1,???恒成立，求实数
??a的取值范围．
【答案】（1）f?0??1；（2）证明见解析；（3）??5,?3?．
即x??a?1?x?3?0在x???1,???上恒成立，
2令g?x??x??a?1?x?3，即g?x?min?0成立即可．
2①当
a?1??1，即a??3时，g?x?在x???1,???上单调递增， 2则g?x?min?g??1??1??a?1??3?0解得a??5，所以?5?a??3，
a?1a?1?a?1??a?1?②当??1即a??3时，有g?x?min?g???a?1?3?0 ?????22?2??2?解得?23?1?a?23?1，而?23?1??3，所以?3?a?23?1， 综上，实数a的取值范围是??5,?3? 【变式演练1】
设奇函数f(x)在区间[?1,1]上是增函数，且f(?1)??1.当x?[?1,1]时，函数f(x)?t?2at?1，对一切a?[?1,1]恒成立，则实数t的取值范围为（ ）
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
2
22所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执
A.?2?t?2 B.t??2或t?2 C.t?0或t?2 D.t??2或t?2或t?0 【答案】D 【解析】
试题分析：由奇函数f(x)在区间[?1,1]上是增函数，且f(?1)??1，所以在区间x?[?1,1]的最大值为1，所以1?t?2at?1当t?0时显然成立，当t?0时，则t?2at?0成立，又a?[?1,1]，
令g?a??2at?t,a?[?1,1]，当t?0时，g?a?是减函数，故令g?1??0，解得t?2；当t?0时，g?a?222是增函数，故令g??1??0，解得t??2，综上所述，t?2或t??2或t?0，故选D. 考点：函数的单调性与函数的奇偶性的应用.
【变式演练2】已知定义在R上的函数f?x?为增函数，当x1?x2?1时，不等式
f?x1??f?0??f?x2??f?1?恒成立，则实数x1的取值范围是（ ）
A. ???,0? B. ?0,? C. ?【答案】D
??1?2??1?,1? D. ?1,??? ?2?【变式演练3】定义在非零实数集上的函数f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，且f(x)是区间(0,??)上的递增函数．
（1）求f(1),f(?1)的值； （2）求证：f(?x)?f(x)； （3）解不等式f(2)?f(x?)?0．
12同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 3
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执
【答案】（1）f(1)?0,f(?1)?0；（2）证明见解析；（3）?0,???,1?．
22?1??1?????考点：抽象函数及应用．
【变式演练4】定义在(?1,1)上的函数f(x)满足下列条件：①对任意x,y?(?1,1)，都有
x?yf(x)?f(y)?f()；②当x?(?1,0)时，有f(x)?0，求证：
1?x?y（1）f(x)是奇函数； （2）f(x)是单调递减函数； （3）f(11)?f()?1119?f(11*n?N，其中． )?f()2n?5n?53【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【解析】
试题分析：（1）由奇函数的定义及特殊值f(0)?0即可证明；（2）由单调性的定义,做差证明；（3）先由题
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 4
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执
11?(?)1(n?3)?(n?2)n?3] （3）f(2)?f[]?f[n?211n?5n?5(n?2)(n?3)?11?(?)n?2n?31111?f()?f(?)?f()?f()
n?2n?3n?2n?31111111∴f()?f()??f(2)?[f()?f()]?[f()?f()]?1119n?5n?534451111?f()?f()?f()?f(?)
3n?33n?311111∵0??1，∴f(?)?0，∴f()?f(?)?f()．
n?3n?33n?331111故f()?f()??f(2)?f()．
1119n?5n?53考点：1．抽象函数；2．函数的单调性,奇偶性；3．数列求和． 【高考再现】
?[f(11)?f()] n?2n?31.【2017全国卷一理】函数f?x?在???，???单调递减，且为奇函数．若f?1???1，则满足?1≤f?x?2?≤1的x的取值范围是（） A．??2，2? 【答案】D
1? B．??1，C．?0，4? D．?1，3?
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 5
高考数学专题06确定抽象函数单调性解函数不等式黄金解题模板
