第二章 2.1 第二课时等式性质与不等式的性质

第二课时 等式性质与不等式的性质

课标要求 1.掌握不等式的基本性质； 2.运用不等式的性质解决有关问题. 素养要求 通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题，提升数学抽象及数学运算素养.

教材知识探究

在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表示这一现象.

问题 你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？

aa＋c提示 糖水变甜这一现象对应的不等式为b<，其中a0.

b＋c

1.等式的性质

性质1 如果a＝b，那么b＝a； 性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4 如果a＝b，那么ac＝bc； ab性质5 如果a＝b，c≠0，那么c＝c.

2.不等式的性质 注意这些性质是否可逆(易错点) 性质1 如果a>b，那么bb.即a>b性质2 如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>ca>c. 性质3 如果a>b，那么a＋c>b＋c.

b

性质4 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么acb，c>d，那么a＋c>b＋d. 性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 性质7 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2).

教材拓展补遗

[微判断] 1.a>b

ac2>bc2.(×)

提示 当c＝0时，不成立.

2.同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(×)

?a>b>0，

提示 相乘需要看是否?而相加与正、负和零均无关系.

?c>d>0，3.设a，b∈R，且a>b，则a3>b3.(√) [微训练]

b＋mb

1.已知a，b，m是正实数，则不等式>成立的条件是( )

a＋maA.a

B.a>b D.恒成立

b＋mbm（a－b）m（a－b）

－a＝，而a>0，m>0且>0，∴a－b>0.即a>b. a＋ma（a＋m）a（a＋m）

答案 B

2.已知m>n，则( ) A.m2>n2 C.mx2>nx2

B.m>n D.m＋x>n＋x

解析 由于m2－n2＝(m－n)(m＋n)，而m＋n>0不一定成立，所以m2>n2不一定成立，而m，n不一定有意义，所以选项A，B不正确；选项C中，若x2＝0，则不成立. 答案 D [微思考]

1.若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？

提示 a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立. 2.若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？

提示 不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立.

题型一 利用不等式的性质判断命题的真假

11

【例1】 若a|b|，②ab3，则不正确的不等式的个数是( ) A.0 C.2

B.1 D.3

11

解析 由a0，则a＋bb3，④正确. 故不正确的不等式的个数为2. 答案 C

规律方法 不等式的性质常与比较大小结合考查，此类问题一般结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值求解.

【训练1】 设a>b>0，cbd abC.d>c

ab B.d

解析 a>b>0，c－d>0， 即有－ac>－bd>0，即ac

1ab

由cd>0，又ac－d>0，－ac>－bd>0， 可得ac2>bd2，则D错.故选B. 答案 B

题型二 利用不等式的性质证明不等式

解决此类问题一定要记准，记熟不等式的性质，并注意在解题中灵活地加以应用 a＋bc＋d

【例2】 若bc－ad≥0，bd>0，求证：b≤d. 证明 ∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，

∴bc＋bd≥ad＋bd， 即b(c＋d)≥d(a＋b).

a＋bc＋d

又bd>0，两边同除以bd得，b≤d. 规律方法 1.不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小；

2.证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导.

【训练2】 (1)已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac

(2)ab，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc. 又e>f，即f

bab2－a2（b＋a）（b－a）

(2)由于a－b＝ab＝，

ab∵a0，ab>0， （b＋a）（b－a）ba∴<0，故

aba

同向可加性，同向同正可乘性是解这类问题的常用性质 a

【例3】 已知1

规律方法 求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除.

ππ

【训练3】 已知－2<β<α<2，求2α－β的取值范围.

ππππ

解 ∵－2<α<2，－2<β<2， ππ

∴－2<－β<2.∴－π<α－β<π. 又∵β<α，∴α－β>0，∴0<α－β<π， π3

又2α－β＝α＋(α－β)，∴－2<2α－β<2π.

一、素养落地

1.通过学习并理解不等式的性质，培养数学抽象素养，通过运用不等式的性质解决问题，提升数学运算素养.

2.利用不等式的性质证明简单的不等式是否成立，实际上就是根据不等式的性质把不等式进行适当的变形，证明过程中注意不等式成立的条件. 二、素养训练

1.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( ) A.M>N C.M

2

B.M＝N D.与x有关

?1?3

解析 M－N＝x2＋x＋1＝?x＋2?＋4>0. ??∴M>N. 答案 A

2.设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( ) A.a－b>0 C.a2－b2<0

B.a3＋b3>0 D.a＋b<0

解析 本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，排除A，B，C，故选D. 答案 D

x

3.若8

解析 ∵2