MPA公共管理硕士综合知识数学概率论（随机变量及其分布）-试卷1
(总分：60.00，做题时间：90分钟)
一、 数学部分(总题数：33，分数：60.00)
1.选择题
__________________________________________________________________________________________ 解析：
2.设随机变量X服从正态分布N(μ，σ )，σ＞0，则当σ增大时，概率P{|X一μ|＜2σ)( )． （分数：2.00） A.单调增大 B.单调减小 C.保持不变 √ D.增减不定
解析：解析：因为X～N(μ，σ )，所以 3.设随机变量X的概率分布为P{X=k}=（分数：2.00） A.1 B.e C.e
D.(1一e ) √ 解析：解析：由于 等式两边各加Ce ，使右边变成C倍的泊松分布之和． -λ
-λ
-λ
-1
-1
2
2
此值与σ无关．故本题应选(C)． ．k=1，2，3，…，则C等于( )．
此题常犯的错误是把其看成泊松分布，认为C=1，忽略了志的取值范围的变化，泊松分布中k的取值是0，1，2，3，…，而该题中的k取值是1，2，…，必须等式两边各加Ce ，使等式右端符合泊松分布才好求和． 4.设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(一x)=f(x)，F(x)为X的分布函数，则对任意实数a，有( )． （分数：2.00）
A.F(-a)=1一∫ 0 f(x)dx B.F(-a)= C.F(一a)=F(a) D.F(一a)=2F(a)一1
解析：解析：由于 F(-a)=1—F(a)=1一∫ -∞ f(x)dx =1一∫ -∞ f(x)dx一∫ 0 f(x)dx =1一 一∫ 0 f(x)dx = a
a
0
a
a
-∫ 0 f(x)dx √
a
一∫ 0 f(x)dx 此题易犯的错误是把F(x)与f(x)混淆，认为f(-x)=f(x)，也就
a
a
有F(一x)=F(x)．第二种错误是F(一a)=1一F(a)，把F(a)看成了∫ 0 (x)dx，因而选择了(A)项． 5.设随机变量X～N(μ，σ )，实数a＜b＜c，并且X的密度函数f(x)满足f(a)＜f(c)＜f(b)，则( )． （分数：2.00） A. √ B. C.
2
D.
解析：解析：由于 f(x)＜f(x)， |a一μ|＞|c一μ|，2
由于 f(c)＜f(b)， |b一μ|＜|c-μ|，2
从而(A)成立，(D)不对． 不能确定μ与b的大小关系，(B)，(C)都不成立．
6.设随机变量X和Y均服从正态分布，X～N(μ，4 )，Y～N(μ,5 )．记 P =P(x≤μ-4)，P =P(Y≥μ+5)．则1 2 有( )． （分数：2.00）
A.对任何实数μ都有p 1 =p 2 ： √ B.对任何实数μ都有p 1 ＞p 2 C.对任何实数μ都有p 1 ＜p 2 D.只有当μ=0时，才有p 1 =p 2
解析：解析：计算一下p 1 与p 2 ，再比大小． 2
=1一φ(1)． 故对任意μ的值，都有p 1 =p 2 ．
7.设随机变量X～N(μ，σ )，则随σ的增大，概率P{|X一μ|＜σ)有( )． （分数：2.00） A.单调增大 B.单调减小 C.保持不变 √ D.先增后减 解析：解析：因为（分数：2.00） A.e B.-4-2
所以P(|X—μ|＜σ}的值不变．
2
2
8.设X服从参数为2的指数分布，a为任意实数，则P{X＞a +2|X＞a }等于( )．
C.e √ D. 又 P{X＞a }=1一P{X≤a }= 2
2
解析：解析：由条件概率 所以 P{X＞a +2}=1一P{X≤a +2}=
22
9.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间为X分钟，X服从指数分布（分数：2.00） A.5(1一e ) B. -2
5-2
5-2
等待时间超过10分钟，顾客就
要离去，某顾客在一个月内要去银行5次，则他至少有一次离去的概率为( )．
C.(1-e ) D.1-(1-e ) √ 解析：解析：离去的概率 e ) ．
10.设随机变量X ～N(1，7 )，则P{1＜X＜2)等于( )． （分数：2.00） A.
3
2
-2
5
设离去的次数为Y，则 Y～B(5，e )， P{Y≥1}=1一P{Y=0}=1一(1一
-2
B. C. √ D.
解析：解析：P{1＜X＜2}=P{1＜X ＜8} 11.设随机变量X～f X (x)= （分数：2.00） A. B. C. D. √
解析：解析：根据分布函数的定义，有 F Y (y)=P{Y≤y} =P{e ≤y}= lny
X
3
=φ(1)一φ(0)= X
则随机变量Y=e 的概率密度f Y (y)为( )． 当0＜y＜1时，注意到lny
lny
＜0，有 P{X≤lny}=∫ -∞ f X (x)dx=0． 当y≥1时，lny≥0，有 P{X≤lny}=∫ -∞ f X (x)dx=∫ 0
lny
e dx= -x
因此有 又由分布函数与概率密度的关系，得 以上解法被称为求连续型随机变量函数分布的“直接交换法”，其一般步骤为： (1)将随机事件Y=f(X)在某范围内取值“转化为”随机变量X在相应范围内取值； (2)根据已知的X的分布计算出Y的分布函数F Y (y)； (3)利用概率密度与分布函数的关系，求出Y的概率密度f Y (y)．
12.某箱配件共100个，若该类配件平均每个上有2个疵点，且每个配件上的疵点个数服从泊松分布，则该箱配件上的疵点数都不超过1的概率为( )． （分数：2.00） A.3e B.3 e
10100100
-200
-2
√
C.3 e D.3 e
解析：解析：不妨将100个配件编号为1，2，…，100，设随机变量X表示第i个配件上的疵点数(i=1，2，…，100)，由题意X i 服从泊松分布，且其参数λ=E(X i )=2． 对于每个配件，其疵点数不超过1的概率 P{X ≤1}=P{X i =0}+P{X i =1} = 显然各X i 相互独立，故100个零件疵点数都不超过1的概率为 P{X
-2
100
100
-200
-2
-200
i1
≤1，X 2 ≤1，…，X 100 ≤1} =P{X 1 ≤1).P{X 2 ≤1}.….P{X 100 ≤1} =(3e ) =3 e ．
13.设随机变量X具有对称的密度函数，即f(-x)=f(x)，则对任意a＞0，P{|X|＞a)等于( )． （分数：2.00） A.2[1一F(a)] √ B.2F(a)一1 C.2一f(a) D.1-2F(a)
解析：解析：P{|X|＞a}=1一P{|X|≤a} =1一∫ -a f(x)dx =1—2∫ 0 f(x)dx =1-2[∫ -∞ f(x)dx一∫ -∞ f(x)dx] =1—2[F(a)一 得．
14.设某种晶体管使用寿命在1 000小时以上的概率为0．8，那么三个晶体管最多有一个使用寿命不足1 000小时的概率为( )． （分数：2.00） A.0.8 B.0.886 C.0.896 √ D.0.64
0
a
a
a
] =2[1—F(a)]， 这是由f(x)为偶函数和∫ -∞ f(x)dx= 0
所解析：解析：三个晶体管都使用到1 000小时以上的概率为(0．8) =0．512，有且仅有一个晶体管有问题的概率为C 3 ×(0.8) ×0．2=0．384，故三个晶体管最多有一个使用寿命不足1 000小时的概率为0．896．
15.设随机变量X，Y相互独立且均服从正态分布N(μ，σ )，则概率P{X—Y＜1)( )． （分数：2.00） A.随μ的增加而增加 B.随μ的增加而减少 C.随σ的增加而增加 D.随σ的增加而减少 √
解析：解析：由题设知X—Y～N(0，2σ )，于是概率 16.已知x～N(1，（分数：2.00） A.2(X—Y) B.X+Y √ C. D. )，Y～N(0，2
2
1
2
3
可见其概率随σ的增加而减少．
)，且相互独立，Z=X—Y，则与Z同分布的是( )．
解析：解析：Z=X—Y～N(1，1)，而X+Y～N(1，1)，故(X+Y)与Z同分布． 17.填空题
__________________________________________________________________________________________ 解析：
18.一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]） 解析：解析：设一次射击时命中目标的概率为P，则19.若 则该射手的命中率为 1．
(k=1，2，…)：为离散型随机变量的概率分布，则常数b= 1
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1．） 解析：解析：如果(k=1，2，…)为离散型随机变量的概率分布，则必有则参数a的值为 1．
由此得到 20.设连续型随机变量x～f(x)=（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：e．）
解析：解析：根据概率密度的性质有 ∫ -∞ f(x)dx=∫ 1 lnxdx=(xlnx—x)| 1 =alna一a+1=1， 解得 a=e， 即所求参数a=e． 求概率密度中的某个参数值，通常利用∫ -∞ f(x)dx=1得出等式求解，而求分布函数中某个参数值，则是利用分布函数的连续性或limF(x)=1，limF(x)=0等 得出等式求解． 21.设连续型随机变量X的分布函数为（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1，一1．） 解析：解析：又根据F(x)的连续性，有故 B=一A=一1， 即 A=1，B=一1．
则A，B的值分别为 1．
+∞
+∞
a
a
22.设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)．若P{X≥1}=（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]） 解析：解析：由题设，有 X～B(2，p)，P{X≥1}= ，则P{Y≥1}= 1．
于是 P{X≥1}=1一P(X=0)=1一(1一p) = 2
2
23.若随机变量η服从[1，6]上的均匀分布，则方程x +ηx+1=0有实根的概率为 1． （分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]） 解析：解析：由题知 由于方程x +ηx+1=0有实根的充要条件是△=η 一4≥0，即 η≥2或η≤
-2
2
2
一2． 而 P{η≥2或η≤一2}=P{η≥2)+P{η≤一2} 一P{η≤一2}+1一P{η≤2} =∫ f(x)dx+1-∫ -∞ f(x)dx = 2
-∞
故方程x +ηx+1=0有实根的概率为 2
24.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布，现在对X进行3次独立观测，则至少有2次观测值大于3的概率为 1． （分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]） 解析：解析：由题设知X的概率密度为若设事件A={对X的观测值大于3}，即A={X＞3}，则，故所求概率为 用随机变量Y表示3次独立观察中A出现的次数，则Y～B25.计算题
__________________________________________________________________________________________ 解析：
26.根据以往经验，每封反映违法违纪问题的举报信，所举报的问题属实的概率为0．6，试问至少需要有几封对同一问题的独立的举报信，就可以有95％的把握相信举报的问题是属实的(lg2=0．301)． （分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设至少需要n封举报信，则 1一(1一0．6) ≥0．95， 即 0．4 ≤0．05， 两边取对数，得 nlg4≤lg0．05， 解析：
27.设某人上班路上所需时间X～N(50，100)(单位：分)，已知上班时间为早上8时，他每天早晨7时出门，试求： (1)他某天迟到的概率(保留四位小数)； (2)他某周(以五天计)最多迟到一天的概率(保留两位小数)． 计算时可参考： 标准正态分布表：φ(1)=0．841 3，φ(2)=0．977 2，φ(3)=0．998 7． 幂函数计算表见表2—4—1：（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(1)由X～N(50，100)，可知该人每天迟到的概率 P(X＞60)=1一P(X≤60) P(Y≤1)=P(Y=0)+P(Y=1) =0．8413 +C 5 ×0．1587×0．8413 =0．4215+0．397 5≈0．82．) 解析：
5
1
4
n
n
) (2)设随机变量Y为该人在一周(以五天计)中迟到的天数，则Y服从二项分布B(5，0．158 7)．所求概率为
MPA公共管理硕士综合知识数学概率论(随机变量及其分布)-试卷1
