527 )?1632又?BOC???3???AOB??,?OCA???2???OBA??得??3???，??2??? ?1?cos2??2cos?(4cos3??3cos?)?8cos4??5cos2??1?8(cos2????4????3 ?cos2??(,) ，于是CD2?[114214271,) ,) ?CD?[82322评析：本题是一个以平几为背景的题目，它可用三角函数知识转化为二次函数问题来加以处
理，考查学生灵活运用数学知识的能力
14. 设a,b,c,d是正整数，a,b是方程x2?(d?c)x?cd?0的两根，证明：存在边长是正整
数且面积为ab的直角三角形。
?a?b?d?c证明： （命题组提供） 由题设可知，?，由于a,b,c,d是正整数，
ab?cd?则a?b,a?c,b?c中任两个数之和大于第三个数，且为正整数，
(c?a)2?(b?c)2?a2?b2?2c2?2c(a?b)?a2?b2?2c2?2c(d?c)?a?b?2cd?a?b?2ab?(a?b)2又S?(a?c)(b?c)?(ab?c(a?b?c))?(ab?cd)?ab
故存在边长为a?c,b?c，a?b（均为正整数）的直角三角形（a?b为斜边）符合题设要求.
评析：本题为全套试题的压轴题，是一个开放性问题，能很好地考查学生的思维能力和创新
能力，难度较高，试题构思巧妙朴实优美。本题的关键是如何构造一个满足题设要求的三边长为正整数，面积为ab的三角形
上述命题组给出的证明方法，结论是正确的但很不自然，让人感到迷茫，正如美籍匈牙利数学家波利亚所言：“就像从一顶帽子里抓出一只兔子的戏法一样令人感到意外，根本不具有什么启发性。聪明的学生和聪明的读者不会满足于只验证推理的各个步骤都是正确的，他们也想知道各个不同步骤的动机和目标。如果最为引人注目的步骤其动机和目的仍不可理解的话，那么他们在推理和创新方面学不到任何东西。”我们研究一个问题不仅希望得到一个解答，也希望这个解答是优美的、富有启发性的，更渴望知道这个解答是如何想到的，因此揭示出问题解决的心理过程和分析探索过程，对培养学生的解题能力进而提高他们的思维能力和创新能力显得尤为重要。下面给出笔者的探索尝试过程，供参考
设以正整数x,y为直角边的三角形满足要求，则xy?2ab，x2?y2为完全平方数
2222
121212?a?b?d?c由题设根据韦达定理可知，正整数a,b,c,d满足 ?， 又
ab?cd? x2?y2?(x?y)2?2xy?(x?y)2?4ab?(x?y)2?4cd，
222（c?d）（c?d）?4cd?（c?d）可尝试猜想 (x?y)2?4cd?，则 (x?y)2? 得
6
x?y?c?d，又xy?2ab?2cd，利用韦达定理和一元二次方程求根公式结合对称性
c?d?c2?d2?6cdc?d?c2?d2?6cd不妨设 x?，y?
22d?c?c2?d2?6cd因为a,b是方程x?(d?c)x?cd?0的两根，同样不妨设a?
22d?c?c2?d2?6cd，所以c2?d2?6cd?d?2a?c或c2?d2?6cd?2b?c?d b?2c?d?(d?2a?c)?x??c?a??2所以得 ?
c?d?(d?2a?c)?y??d?a?b?c?2?c?d?(2b?c?d)?x??d?b?a?c??2或 ?，此时
c?d?(2b?c?d)?y??b?c?2?x2?y2?(c?a)2?(b?c)2?a2?b2?2c2?2c(a?b)?a2?b2?2c2?2c(d?c)?a?b?2cd?a?b?2ab?(a?b)2
这样可得到满足要求的三角形两条直角边为a?c,b?c，斜边为a?b。
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2012-4-21
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2012年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析
