南京师范大学
2000年研究生入学考试试卷
学科专业：理论物理、天体物理 考试科目：量子力学（A卷）559
一、填充：（每题4分，共32分）
1、波函数模的平方|?(r,t)|2表示的物理意义是_______1_______。
?2|?(r,t)|d?表示的物理意义是_______2_______。
?2、由几率流密度矢量J构成的????Jd?表示的物理意义是_______3_______。
?3、算符A若满足关系_______4_______，则此算符为角动量算符。
????2,L?]?_____6____。?x]?____5____,[L4、完成对易关系：[x,px?x,??y]?____7___。 [?5、设?nlm(r,?,?)为氢原子的能量本征函数，完成下列积分：
**??2?L?2)?d??__9__， ??nlmLx?nlmd??____8_____，??nlm(Lxynlm*?2?d??_____10_____。 ?Lnlm?nlm?2,J?2,J?2,J?}构成的耦合表象的基矢为6、若采用狄拉克符号，{J12z?2,J?,J?2,J?}构成的耦合表象的基矢为_____12_____。_____11_____，{J 11z22z?的本征态Y?2和L?)?(?p?x)?_____13_____，在L7、在任意状态中(?xlmz22?)2?(?L?)2?_____14_____。 中，(?Lxy8、对坐标和自旋变量分别为q1和q2的两个费米子，若粒子的可能状态为?i和?j，则体系的波函数为______15_____。 二、选择：（每题4分，共16分）
1、判断下列氢原子偶极跃迁中何为允许跃迁：
A.?433??310B.?100??310C.?320??200D.?322??210
2、若氢原子在t=0处在状态c1?210?c2?310中，则在t时刻氢原子的波函数为：
A.(c1?210?c2?310)exp(?iE2t?E2t?)B. (c1?210?c2?310)exp(?iE2t?E3t?)
C. c1?210exp(?i) D.c1?210exp(?i)?c2?310exp(?iE3t?)
3、判断下列算符的矩阵表示何为厄密算符，其中a，b为实数：
?aA.???b?b??a?ib? B.???iba?????a?C.??a?ib????ibibib??a? D.??0a???0?? ia??4、判断下列波函数何为定态波函数： A.
?1(x,t)??(x)exp(?iE1t?Et?)??(x)exp(?i*Et?)B.
?2(x,t)??1(x)exp(?i?3(x,t)??(x)exp(?i)??(x)exp(?iEt?E2t?))C.
Et?)??(x)exp(iEt?D.
Et?)
?4(x,t)??(x)exp(ikx?i)??(x)exp(?ikx?i三、证明：（共16分）
??L?p?yL?y)为厄密算符。 1、（8分）证明i(pzz???与B?的?对易，2、（8分）已知体系中厄密算符A设?1(r)和?2(r)分别是A属于本征值为?1和?2的本征函数，证明
??(r)和B??(r)也分别为A?的属于本征值为?和?的本（1）（5分）B1221??征函数。
??d??0 （2）（3分）证明积分??2B1四、计算：（共36分）
?V0???x??a?1、（10分）设粒子在一维势场U(x)??0?a?x?a中运动，求：
?V?0a?x??（1）（7分）能级所满足的方程，
（2）（3分）证明当V0??粒子的能级与一维无限深势阱的能级相同。 2、（10分）设自旋角动量在(sin?cos?,sin?sin?,cos?)方向的投影为??S?sin?cos??S?sin?sin??S?cos?求： Snxyz?的本征值和本征函数， （1）（5分）Sn（2）（5分）在这些态中，测量Sz有哪些可能值，相应的几率和平均值。 3、（16
2分）两维各向同性谐振子的哈密顿算符为
22????(???)?1??2(x2?y2)，求 H0222??x2?x（1）（5分）能量的本征值和本征函数。 （2）（3分）第n个能级的简并度。
????xy，试用有简并的微扰理论求第一激（3）（8分）现粒子受到微扰H发态的能量一级修正。 （递推公式：x?n(x)?1[n2??(x)?n?1n?12?n?1(x)]）
2000量子力学
