1.如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且∠EAG=∠DCB，连接EC，GD． （1）求证：EB=GD；
（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=
2.如图，抛物线y??x?2x?3与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C，顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F．
（1）求线段DE的长；
（2）设过E的直线与抛物线相交于MM(x1，y1)，N(x2，y2)试判断当|x1﹣x2|的值最小时，直线MN与x轴的位置关系，并说明理由；
2，求GD的长．
3.已知二次函数y=x2+bx+c，其图象抛物线交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C，直线l过点C，且交抛物线于另一点E（点E不与点A、B重合）． （1）求此二次函数关系式；
（2）若直线l1经过抛物线顶点D，交x轴于点F，且l1∥l，则以点C、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由．
4.已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点．
（1）求此抛物线的解析式及最值；
（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；
（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A′求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．
5.关于x的一元二次方程x?(m?2)x?2m?9?0。 2（1）求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若抛物线y?x?(m?2)x?2m?9与x轴交于A(?1?n,0),B(?2?n,0)两点（A2在B的左侧），与y轴交于点C，求这个抛物线对应的函数表达式及A，B两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，以点A为直角顶点作直角三角形ACD，斜边CD与抛物线交于点P，且CP＝DP，求直线AD对应的函数表达式及点P的坐标。
26．已知抛物线y?x?bx?c与x轴交于点A(?1,0)、C，与y轴交于点B（0，3），抛物线的顶点为p。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线向下平移k个单位后经过点（－5，6）。 ①求k的值及平移后抛物线所对应函数的最小值；
②设平移后抛物线与y轴交于点D，顶点为Q，点M是平移后的抛物线上的一个动点。请探究：当点M在何处时，△MBD的而积是△MPQ面积的2倍？求出此时点M的坐标。
7.如图1，已知?ABC是等腰直角三角形，?BAC?90?,点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG． （1）试猜想线段BG和AE的数量关系是 ； （2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转?(0????360?)， ①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论； ②若BC?DE?4，当AE取最大值时，求AF的值．
8.如图，已知四边形ABFC为菱形，点 D、A、E在直线l上，∠BDA=∠BAC=∠CEA． （1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）若∠FBA=60°,连接DF、EF，判断△DEF的形状，并说明理由．
FCBlDAE
9.如图①，在□ABCD中，∠A＝60°，动点E、F同时从点A出发，点E以2cm/s速度沿折线AB—BC—CD运动，点F以1cm/s速度沿折线AD—DC运动，当点E与点F 重合时都停止运动．设E、F出发t s时，△AEF的面积为y cm2，已知y与t的函数图象如图②所示，其中曲线OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段，请根据图中的信息，解答下列问题：
(1) □ABCD的周长为 cm，a＝ ，b＝ ；
(2) 当点E在边BC、CD上运动时，分别求出y与t的函数关系式（注明自变量t的取 值范围）；
(3) 求当t为何值时，△AEF与□ABCD的面积之比为1∶3？
10.如图1，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形． ⑴求证：四边形ABCD是菱形；
⑵如图2，若?AED?2?EAD，AC=8．求DE的长． EA D AD
O
OBC
EBC
初三培优
