课时分层作业(十九)平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐
标运算
(建议用时：40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．若{i，j}为正交基底，设a＝(x＋x＋1)i－(x－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于( )
A．第一、二象限 C．第三象限
B．第二、三象限 D．第四象限
2
2
?1?232
D [x＋x＋1＝?x＋?＋＞0，
?2?4
x2－x＋1＝?x－?2＋＞0，
2
??
1??
34
所以向量a对应的坐标位于第四象限．]
→1→
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)且MP＝MN，则点P的坐标为( )
2
【导学号：84352224】
A．(－8,1) 3??C．?－1，－? 2??→1→
C [因为MP＝MN，
2→→1→→所以OP－OM＝(ON－OM)，
2→
?3?B．?1，? ?2?
D．(8，－1)
OP＝OM＋ON
11
＝(3，－2)＋(－5，－1) 223??＝?－1，－?，
2??
3??即点P坐标为?－1，－?.]
2??
1
3．已知a－b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于( )
2A．(－2，－2)
B．(2,2)
1
1→1→22
C．(－2,2) D．(2，－2)
D [由已知得2a－b＝(2,4)，a＋b＝(4，－10)， 所以3a＝(6，－6)，a＝(2，－2)．]
4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于( )
【导学号：84352225】
A．(1，－1) C．(－4,6)
B．(－1,1) D．(4，－6)
D [因为4a,3b－2a，c对应有向线段首尾相接，所以4a＋3b－2a＋c＝0，故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2,4)＝(4，－6)．]
→→→
5．已知点A(1,2)，B(2,4)，C(－3,5)．若BP＝BA＋mBC，且点P在y轴上，则m＝( ) A．－2 1C．－ 5
→→
B [设P(x，y)，由题意AP＝mBC，
??x－1＝－5m，∴?
?y－2＝m，?
1
B． 5D．2
1
∴P(－5m＋1，m＋2)，又点P在y轴上，∴－5m＋1＝0，m＝.]
5
二、填空题
→→→
6．如图2-3-16，在?ABCD中，AC为一条对角线，若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BD＝________.
图2-3-16
→→→
(－3，－5) [BC＝AC－AB＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)， →
BD＝BC＋CD＝BC－AB＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)．]
7．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图2-3-17所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈
→→→→
λ
R)，则＝________.
μ
2
图2-3-17
4 [以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)．由c＝λa＋μb，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，1λ
λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－，则＝4.]
2μ
8．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1＋λ2＝________.
【导学号：84352226】
1 [由c＝λ1a＋λ2b， 得(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)，
??λ1＋2λ2＝3，
所以?
?2λ1＋3λ2＝4，?
解得λ1＝－1，λ2＝2，
所以λ1＋λ2＝1.] 三、解答题
→1→→→1→
9．已知点A(－1,2)，B(2,8)及AC＝AB，DA＝－BA，求CD的坐标．
33[解] 因为A(－1,2)，B(2,8)， →
所以AB＝(2,8)－(－1,2)＝(3,6)， →
BA＝(－3，－6)，
→1→→1→
所以AC＝AB＝(1,2)，DA＝－BA＝(1,2)，
33
→
AD＝(－1，－2)，
→→→
所以CD＝AD－AC＝(－1，－2)－(1,2)＝(－2，－4)． 10．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)， →→→→→
设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b. (1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； →
(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标.
【导学号：84352227】
[解] 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
3
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
??－6m＋n＝5，∴???－3m＋8n＝－5，
??m＝－1，
解得?
??n＝－1.
→→→
(3)设O为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c， →→
∴OM＝3c＋OC＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， ∴M(0,20)．
→→→
又∵CN＝ON－OC＝－2b，
→→
∴ON＝－2b＋OC＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， →
∴N(9,2)，∴MN＝(9，－18)．
[冲A挑战练]
→
1．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设OC＝→→
λOA＋(1－λ)OB(λ∈R)，则λ的值为( )
1A. 52C. 5
C [如图所示，∵∠AOC＝45°，
1B. 32D. 3
→
设C(x，－x)，则OC＝(x，－x)． 又∵A(－3,0)，B(0,2)，
→→
∴λOA＋(1－λ)OB＝(－3λ，2－2λ)，
??x＝－3λ，∴?
?－x＝2－2λ?
2
?λ＝.] 5
2．已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于( )
【导学号：84352228】
4
A．{(1,1)} C．{(1,0)}
A [a＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)，
B．{(－1,1)} D．{(0,1)}
b＝(1,1)＋n(－1,1)＝(1－n,1＋n)．
??1＝1－n，
由a＝b得?
??m＝1＋n，
解得?
??m＝1，??n＝0，
故P∩Q＝{(1,1)}．]
1→?ππ?3．已知A(2,3)，B(1,4)，且AB＝(sin α，cos β)，α，β∈?－，?，则α＋
2?22?β＝________.
ππ1→1?11?或－ [因为AB＝(－1,1)＝?－，?＝(sin α，cos β)，
6222?22?11所以sin α＝－，cos β＝，
22πππ
所以α＝－，β＝－或，
633ππ
所以α＋β＝或－.]
62
4．等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，三个顶点的坐标分别为A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________.
【导学号：84352229】
(2,4) [设点D的坐标为(x，y)． →→
因为DC＝2AB，所以DC＝2AB.
→
因为DC＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)， →
AB＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，
所以(4－x,2－y)＝2(1，－1)， 即(4－x,2－y)＝(2，－2)，
??4－x＝2，所以?
?2－y＝－2，?
??x＝2，
解得?
?y＝4，?
故点D的坐标为(2,4)．]
10．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)， →→→→→
设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b. (1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
5
→
(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标.
【导学号：84352227】
[解] 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴???
－6m＋n＝5，?解得?
＝－1，
?
－3m＋8n＝－5，
??m?n＝－1.
?
(3)设O为坐标原点，∵→CM＝→OM－→
OC＝3c， ∴→OM＝3c＋→
OC＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， ∴M(0,20)．
又∵→CN＝→ON－→
OC＝－2b，
∴→ON＝－2b＋→
OC＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， N(9,2)，∴MN→
＝(9，－18)．
6
∴
2024高中数学 课时分层作业19 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算 新人教A版
