（a－b）(an1+an2b+an3b2+?＋abn2+bn1)=an－bn 4. 公式的变形及其逆运算
由（a+b）2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)2－2ab
由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)
由公式的推广③可知：当n为正整数时 an－bn能被a－b整除, a2n+1+b2n+1能被a+b整除,
a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
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第十六讲 整数的一种分类
一、内容提要
1． 余数的定义：在等式A＝mB＋r中，如果A、B是整数，m是正整数， r为小于m的非负整数，那么我们称r是A 除以m的余数。
即：在整数集合中 被除数＝除数×商＋余数 (0≤余数<除数) 例如：13，0，－1，－9除以5的余数分别是3，0，4，1 （∵－1＝5（－1）＋4。 －9＝5（－2）＋1。） 2． 显然，整数除以正整数m ,它的余数只有m种。
例如 整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。
3． 整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。
例如：
m=2时，分为偶数、奇数两类，记作｛2k｝,｛2k－1｝ （k为整数） m=3时，分为三类，记作｛3k｝,｛3k+1｝,｛3k+2｝. 或｛3k｝,｛3k+1｝，｛3k－1｝其中｛3k－1｝表示除以3余2。 m=5时，分为五类，｛5k｝.｛5k+1｝,｛5k+2｝,｛5k+3｝,｛5k+4｝ 或｛5k｝,｛5k±1｝,｛5k±2｝， 其中5k－2表示除以5余3。 4． 余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。
举例如下：
①（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 （余数1＋1＝2） ②（4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3 （余数1×3＝3） ③（5k±2）2＝25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4 （余数22＝4） 以上等式可叙述为：
① 两个整数除以3都余1，则它们的和除以3必余2。
② 两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。
③ 如果整数除以5，余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是
4或9。
余数的乘方，包括一切正整数次幂。
如：∵17除以5余2 ∴176除以5的余数是4 （26＝64） 5． 运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m。
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