二位正整数从10到99共90个， 记作9×10
三位正整数从100到999共900个， 记作9×102
四位正整数从1000到9999共9000个， 记作9×103 (指数3=4-1)
?? ??
∴n位正整数共9×10 n-1个 例2
在线段AB上加了3个点C、D、E后，图中共有几条线段？ 加n点呢？ 解：以A为一端的线段有： AC、AD、AE、AB 共4条 以C为一端的线段有：(除CA外) CD、CE、CB 共3条 以D为一端的线段有：(除DC、DA外) DE、DB 共2条 以E为一端的线段有：(除ED、EC、EA外) EB 共1条 共有线段1+2+3+4=10 (条) 注意：3个点时，是从1加到4， 因此 如果是n个点，则共有线段1+2+3+??+n+1=
1?n?1(n?1)(n?2)(n?1)=条 22第八讲 抽屉原则
一、内容提要
1、4个苹果放进3个抽屉，有一种必然的结果：至少有一个抽屉放进的苹果不少于2个（即等于或多于2个）；如果7个苹果放进3个抽屉，那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于3个（即等于或多于3个），这就是抽屉原则的例子。 2、如果用?m?m??7??6?表示不小于的最小整数，例如＝3，??????2 。那么抽屉原
n?n??3??3?则可定义为：m个元素分成n个集合（m、n为正整数m>n）,则至少有一个集合里元素不少于??m??个。 n??3、根据??m??m?的定义，已知m、n可求???； ?n??n?己知?mm?m??m??x?则可求的范围，例如已知??＝3，那么2＜≤3；已知??＝2，?，
nn?n??n??3?x≤2，即3＜x≤6，x有最小整数值4。 3则 1＜
第九讲 一元一次方程解的讨论
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一、内容提要
1、方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。
例如：方程2x＋6＝0，x（x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解分别是x=－3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数，无解。
2、关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后， 讨论它的解：当a≠0时，有唯一的解 x=
b； a当a=0且b≠0时，无解；
当a=0且b＝0时，有无数多解。（∵不论x取什么值，0x＝0都成立） 3、求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a｜b时，方程有整数解；
当a｜b，且a、b同号时，方程有正整数解； 当a、b同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b
第十讲 二元一次方程的整数解
一、内容提要
1、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，
若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即 如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解 显然a,b互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 反过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。 2、二元一次方程整数解的求法：
若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。
方法一：整除法：求方程5x+11y=1的整数解
1?11y1?y?10y1?y??2y (1) , =
5551?y?k(k是整数） 设，则y=1-5k (2) , 5解：x=
把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2 ∴原方程所有的整数解是?方法二：公式法：
?x?11k?2（k是整数）
?y?1?5k第7页（共11页）
?x?x0?x?x0?bk设ax+by=c有整数解?则通解是?（x0,y0可用观察法）
y?yy?y?ak00??3、 求二元一次方程的正整数解：
① 求出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值 ② 用观察法直接写出。
第十一讲 二元一次方程组解的讨论
一、内容提要 1． 二元一次方程组??a1x?b1y?c1的解的情况有以下三种：
?a2x?b2y?c2① 当
a1b1c1（∵两个方程等效） ??时，方程组有无数多解。
a2b2c2a1b1c1（∵两个方程是矛盾的） ??时，方程组无解。
a2b2c2a1b1?（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解： a2b2② 当
③ 当
c1b2?c2b1?x??a1b2?a2b1? ? （这个解可用加减消元法求得） ?y?c2a1?c1a2?a1b2?a2b1?2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当已知数），
再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3）
第十二讲 用交集解题
一、内容提要
1． 某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6
的正约数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10??｝，它的个元素有无数多个。
2． 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集
例如6的正约数集合A＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C＝｛1，2｝，集合C是集合A和集合B的交集。
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3． 几个集合的交集可用图形形象地表示，
右图中左边的椭圆表示正数集合，
右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆 的公共部分，是它们的交集——正整数集。
不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。 例如不等式组??2x?6?(1)解的集合就是
?x?2?(2)?不等式（1）的解集x>3和不等式（2）的解集x＞2的交集，x>3.
如数轴所示：
4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。
有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。（如例2）
第十三讲 用枚举法解题
一、内容提要
有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意： ① 按一定的顺序，有系统地进行；
② 分类列举时，要做到既不重复又不违漏；
③ 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。
第十四讲 经验归纳法
一、内容提要
1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。
通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如 ①由 ( － 1)2 ＝ 1 ，（－ 1 ）3 ＝－ 1 ，（－ 1 ）4 ＝ 1 ，??， 归纳出 － 1 的奇次幂是－ 1，而－ 1 的偶次幂 是 1 。 ②由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 × 10 ），
三位数从 100 到 999 共900个（9×102）， 四位数有9×103＝9000个（9×103）， ????
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归纳出n 位数共有9×10n-1(个)
③ 由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42??
推断出从1开始的n个连续奇数的和等于n2等。
可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。
2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。
由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明）
第十五讲 乘法公式
一、内容提要
1． 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接
应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2． 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2, 平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2
立方和（差）公式：(a±b)(a2?ab+b2)=a3±b3 3.公式的推广：
① 多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
② 二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）
（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5） ????
注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 ③ 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式
（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4 (a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5
(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6 ????
注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数
－－－－－
(a+b)(a2n1－a2n2b+a2n3b2－?＋ab2n2－b2n1)=a2n－b2n
－－－
(a+b)(a2n－a2n1b+a2n2b2－?－ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地：
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