课时作业40 合情推理与演绎推理
一、选择题
1．下列推理过程是类比推理的为( )
A．人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为0.5 B．科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼 C．通过检验溶液的pH值得出溶液的酸碱性
D．数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数 解析：由类比推理的概念可知． 答案：B
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，则a1＝1，Sn＝nan，试归纳猜想出Sn的表达式为( ) A．Sn＝2n n＋1
2n－1
B．Sn＝
n＋1D．Sn＝2
2
2n＋1
C．Sn＝
n＋1
解析：Sn＝nan＝n(Sn－Sn－1)，∴Sn＝∴猜想得Sn＝
答案：A
2n，故选A. n＋1
2
2n n＋2
43
3264
85
n2
2
n－1
Sn－1，S1＝a1＝1，则S2＝，S3＝＝，S4＝.
3．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则S1S2
1
＝，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积4为V2，则＝( )
1A. 8C.1 64
1B. 9D.1 27
V1V2
解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为答案：D
V11，故＝.
V227
1213214321
4．已知数列an：，，，，，，，，，，…，依它的前10项的规律，则a99
1121231234
＋a100的值为( )
A.C.37 2411 15
7B. 6D.7 15
1
解析：通过将数列的前10项分组得到第一组有一个数：，分子、分母之和为2；第二
121321
组有两个数：，，分子、分母之和为3；第三组有三个数：，，，分子、分母之和为4；
12123第四组有四个数，…依次类推，a99，a100分别是第十四组的第8个数和第9个数，分子、分7637
母之和为15，所以a99＝，a100＝.故a99＋a100＝.
8924
答案：A
5．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：( )
①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．
A．①② C．③④
B．②③ D．①④
解析：显然①④正确．②中空间内垂直于同一条直线的两直线可能平行，可能相交，也可能异面；③垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交，故D正确．
答案：D
6．(2017·安徽江淮十校联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是1
个定值x，这可以通过方程2＋x＝x确定x＝2，则1＋＝( )
11＋
1＋…
A.
－5－1
21＋5
2
B.
5－1
21－5
2
C.D.
111＋51－52
解析：1＋＝x，即1＋＝x，即x－x－1＝0，解得x＝(x＝舍)，
1x221＋
1＋…
故1＋
1＋5＝，故选C. 121＋
1＋…
1
答案：C
7．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12,2×6,3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q(p≤q且p，q∈
p3*
N)是正整数n的最佳分解时，我们规定函数f(n)＝，例如f(12)＝.关于函数f(n)有下列
q4
1349
叙述：①f(7)＝；②f(24)＝；③f(28)＝；④f(144)＝.其中所有正确的序号为( )
78716
A．①② C．①②④
B．①③ D．①③④
1
解析：利用题干中提供的新定义信息可得，对于①，∵7＝1×7，∴f(7)＝，①正确；
742
对于②，∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，∴f(24)＝＝，②不正确；对于③，∵28＝1×28
634
＝2×14＝4×7，∴f(28)＝，③正确；对于④，∵144＝1×144＝2×72＝3×48＝4×36＝
712
6×24＝8×18＝9×16＝12×12，∴f(144)＝＝1，④不正确．
12
答案：B 二、填空题
11135*
8．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N)，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，
23n22
f(32)>，…，观察上述结果，可归纳出的一般结论为________．
解析：本题考查归纳推理．由归纳推理可得f(2)≥答案：f(2)≥
nn7
2
n＋2
2
(n∈N)．
*
n＋2
2
(n∈N)
*
9．观察下列不等式： 1＋3＋3<π， 1＋3×2＋3×2<π， 1＋3×3＋3×3<π， ……
照此规律，第n－1(n≥2，n∈N)个不等式是________．
解析：根据所给不等式易归纳推理出第n(n∈N)个不等式是1＋3n＋3n<π，所以可以
*
2
2n*
2
6
2
4
2
归纳推测出第n－1(n≥2，n∈N)个不等式是1＋3(n－1)＋3(n－1)<π
答案：1＋3(n－1)＋3(n－1)<π
2
2n－2
*22n－2
.
10．(2017·东北三省四市一模)在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是________．
解析：分析题意只有一人说假话可知，甲与丙必定说的都是真话，故说假话的只有乙，即乙没有得优秀，甲也没有得优秀，得优秀的是丙．
答案：丙
11．(2016·新课标全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
解析：丙的卡片上的数字之和不是5，则丙有两种情况：①丙的卡片上的数字为1和2，此时乙的卡片上的数字为2和3，甲的卡片上的数字为1和3，满足题意；②丙的卡片上的数字为1和3，此时乙的卡片上的数字为2和3，甲的卡片上的数字为1和2，这时甲与乙的卡片上有相同的数字2，与已知矛盾，故情况②不符合，所以甲的卡片上的数字为1和3.
答案：1和3
1．(2017·湖北优质高中联考)如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为an，则
9
＝( )
A.C.2 012
2 0132 014
2 015
B.D.2 013
2 0122 014
2 013
9
a2a3a3a4a4a5
＋
9
＋
9
＋…＋
a2 015a2 016
解析：每条边有n个点，所以3条边有3n个点，三角形的3个顶点重复计算了一次，所以减3个顶点，即an＝3n－3，那么
即
9＋9＋9＋…＋9
9
anan＋1
＝9n－3
n＝
1n－11－.
nn－1n＝a2a3a3a4a4a5a2 015a2 016
?11??11??11?＝?－?＋?－?＋?－? ?12??23??34?
＋…＋?
?1－1?＝1－1＝2 014，故选C.
?2 0152 015?2 0142 015?
答案：C
2．(2016·北京卷)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
解析：解法1：假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，C错误．故选B.
解法2：设袋中共有2n个球，最终放入甲盒中k个红球，放入乙盒中s个红球．依题意知，甲盒中有(n－k)个黑球，乙盒中共有k个球，其中红球有s个，黑球有(k－s)个，丙盒中共有(n－k)个球，其中红球有(n－k－s)个，黑球有(n－k)－(n－k－s)＝s个．所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多．故选B.
答案：B
3．如图，将边长分别为1,2,3的正八边形叠放在一起，同一边上相邻珠子之间的距离为1，若以此方式再放置边长为4,5,6，…，10的正八边形，则这10个正八边形镶嵌的珠子
总
数
是
_______________
_________________________________________________________．
解析：边长为1,2,3，…，10的正八边形叠放在一起，则各个正八边形上的珠子数分别为8,2×8,3×8，…，10×8，其中，有3个珠子被重复计算了10次，有2个珠子被重复计算了9次，有2个珠子被重复计算了8次，有2个珠子被重复计算了7次，有2个珠子被重复计算了6次，…，有2个珠子被重复计算了1次，故不同的珠子总数为(8＋2×8＋3×88×9
＋…＋10×8)－(3×9＋2×8＋2×7＋2×6＋…＋2×1)＝440－(27＋2×)＝341，故所
2求总数为341.
答案：341
318S2n*
4．设数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且满足2an＋1＋Sn＝3(n∈N)，则满足<217Sn8
<的所有n的和为________． 7
解析：由2an＋1＋Sn＝3得2an＋Sn－1＝3(n≥2)，两式相减，得2an＋1－2an＋an＝0，化简得2an＋1＝an(n≥2)，即an＋113a21
＝(n≥2)．由已知求出a2＝，易得＝，所以数列{an}是首项an24a12
n31
[1－2231
为a1＝，公比为q＝的等比数列，所以Sn＝
221
1－2
]
1n12n＝3[1－()]，S2n＝3[1－()]，
22
18S2n811n1
代入<<，可得<()<，解得n＝3或4，所以所有n的和为7.
17Sn71727
答案：7
2024届高考数学（文）大一轮复习检测课时作业：第6章 不等式、推理与证明 课时作业40（含答案）
