横波和纵波的形成条件：振源+弹性介质
1. 沿直线传播的简谐波
对于质点很多的多自由度体系，或者单质点多自由度，未知函数是多个变量的函数，需要用偏微分方程来描述波动方程。
沿x轴正方向传播的平面简谐波，如图所示， 在原点O处有一质点作简谐振动，方程为
y?Acos(?t??)
沿x轴正方向上取一点P，它距O点的距离为x， 当振动从O点传播到P点时，P点在t时刻的位移为
xx????y?Acos??(t?)????Acos??(t?)?????????or????y?Acos??t?kx??????
??u????txx????or???y?Acos?2?(?)??????????or????y?Acos?2?(?t?)???
T??????2. 平面波和球面简谐波
若在空间的任一方向k传播的平面波，则s?Acos??t?k?r???。平面波的等相位面是一个平面，故称平面波，等相位面又称波阵面。波阵面上任一点r处的相位应与P点的相位
相同，而P点与O点的相位差为k?r，球面波可表示为
s?它的振幅随球面半径增大而减小。
Acos??t?k?r??? r3. 简谐波的波动方程
(1).沿直线传播的波动方程
分别对y?Acos(?t?kx)关于t和x的偏导数
??2y?2?2y??2y2??A?cos(?t?kx)??22?222???2y?t?tk?x2?y ????2?v22?t?x?y2?????????????k?????Akcos(?t?kx)?v???x2?(2).平面简谐波波动方程
1?2s?2s?2s?2s ???v2?t2?x2?y2?z24. 叠加原理
x1?A1cos??1t?k1z???设有两列波? ，一个沿z轴
x2?A2cos??2t?k2y???传播，一个沿y轴传播，它们在某点相遇，波的叠加原理
指出：
(1).除相遇外，各点的振动仍由上式给出。
11 / 13
(2).在相遇点，几列波互不影响，各自给出自己的一份贡献，使该点作合成运动。 若对几列波给予一定的条件，可使得叠加结果简单(几列简谐波在相遇点合成仍为谐振动)、稳定(相遇点的振幅不随时间变化)。叠加原理并不是普遍成立的，只有当波的强度较小时，它才正确。
这些条件是
①几列波振动方向相同。 ②几列波的频率相同。 ③几个波源的相位差恒定。
上述特殊条件下的叠加称为“相干叠加”或“干涉”。对于以上参与合成的几列波所加的条件称为“相干条件”。令
x1?A1cos??t??10?kr1?,x2?A2cos??t??20?kr2? x?x1?x2?A1cos??t??10?kr1??A2cos??t??20?kr2?
x?A1??cos?tcos??10?kr1??sin?tsin??10?kr1????A2[cos?tcos??20?kr2??sin?tsin??20?kr2?]?cos?t? ?A1cos??10?kr1??A2cos??20?kr2?????????????????????????????????????????sin?t??A1sin??10?kr1??A2sin??20?kr2???令 A1cos??10?kr1??A2cos??20?kr2?=Acos?0
A1sin??10?kr1??A2sin??20?kr2??Asin?0
2A?A12?A2?2A1A2cos(?20??10?k(r2?r1)Acos??10?kr1??A2cos??20?kr2?tg?0?1A1sin??10?kr1??A2sin??20?kr2?
????20??10?k(r2?r1)
A可以通过矢量的加法来求得：
A2??A1cos?1?A2cos?2???A1sin?1?A2sin?2?2??????A12cos2?1?A2cos2?2?2A1A2cos?1cos?22?????????A12sin2?1?A2sin2?2?2A1A2sin?1sin?22??????A12?A2?2A1A2?cos?1cos?2?sin?1sin?2?2??????A12?A2?2A1A2cos(?1??2)22
注：
波长或相位波长是指波在一个振动周期内沿波的传播方向传播的距离。或者说波在传播方向上空间相位kz变化2?所经历的距离。
5. 驻波
在同一介质中两列频率、振动方向相同，而且振幅也相同的简谐波，在同一直线上沿相反方向传播时就叠加形成驻波。 驻波方程：
12 / 13
x?x???y1?Acos2???t??,y2?Acos2???t????????
?x?x???x???y?y1?y2?A?cos2???t???cos2???t?????2Acos2??cos2??t???????????(1) 振幅的空间分布 波腹：cos2?x??1?2?n???n??x?????2n,n?0,1,2,?24x?2n
波腹间距：?x?2?n?1?波节：cos2??4?4??2,n?0,1,2,
x??0?2?x???(2n?1)??x??(2n?1),n?0,1,2,24?
波节间距：?x???2?n?1??1??(2) 相位的空间分布
?4??2n?1??4??2
在某一时刻t，cos2??t是确定的，因此相位由cos2?x?的符号确定。在波节两侧的点振
动相位相反，而在相邻两个波节之间各个点振动相位相同。
(3) 能量的空间分布
单列直线波单位时间穿过固定点x的能量密度I?sin2(?tkx)，对于驻波有
I?I??I??sin2(?t?kx)?sin2(?t?kx)??sin?tcoskx?sinkxcos?t???sin?tcoskx?sinkxcos?t?
??4sin?tcoskxsinkxcos?t??2sin2?t?sinkx?coskx无论在波节点coskx?0和波腹点coskx?1，都有I?0。 6. 半波损失
当反射波相对于入射波有p的相位突变的现象称为半波损失(half-wave loss)。
一般机械波在两种介质的分界处反射时是否会发生半波损失现象与波在两种介质中的传播速度和两种介质的密度决定。其成绩称为波阻(wave resistance)：rv。波阻较大的介质称为波密介质，反之，称为波疏介质。定量研究表明，当波从光疏介质垂直入射到光密介质时，会发生半波损失现象，在入射点处形成波节；反之，不发生半波损失现象，在入射点处形成波腹。
227. 多普勒效应
13 / 13
大学物理优秀教案--机械振动与机械波
