A?f???2-?2?cos?-??sin????22?f???2-?2?2?????2?????22???2-?2?cos?-??sin?????2-?2?cos2?-2??2-?2?????222??2-?24???2
222222?sin2??????sin2????2-?2??cos??sin???-?sin????sin??????????2-?22????2-?22?????2??2-?2?2222cos????sin???-??????????2222?A??2-?2?-????cos???f??????22??sin??????-?????0??1**i?j A-1?A,A is Aij??-1?Mij transpose A?A??2-?2?-????cos???cos??2-1?f?224A??A??A?-???????????????????2-?2??0??sin?????sin??-??f???tan??2???arctan??-?2?f??2-?2?-1
?????2-?2???-??f?f????当???时，发生共振，振幅为A?f。 ??举例1：弦振动方程
弦上取一段微元?x,x??x?，在任一时刻t这一段弦所受诸力应当平衡，即张力+惯性力+外力=0。 惯性力：??x??xx?2u(x,t)?2u(x,t)?dx????x
?t2?t2外力：
?x??xx?f(x,t)dx??f(x,t)?x
x，x均为?x,x??x?中的点。
张力：惯性力和外力均垂直于x轴，故张力在x方向的投影的代数和为零。
T(x??x)cos?2?T(x)cos?1?0cos?1?11?tan?111?tan?222?1??u?1?????x?12|x?1 ，?1是张力T(x)的方向与水平方向的夹角
cos?2????u?1?????x?2|x??x?16 / 13
张力在u轴方向的分量为
F?Tsin?2?Tsin?1?u|x?x?u
sin?2?tan?2?|x??x?x??u?x??x,t??u?x,t???2u''?F?T????T2?x,t??x,x??x,x??x??x?x??x?sin?1?tan?1??2u(x,t)?2u'?x?T2?x,t??x??f(x,t)?x?0 于是???t2?x两端除以?，并令?x?0，即得
2?2uT2?u2 ?a?f(x,t),其中a?22?t?x?举例2：平面电磁波的波动方程
?Bü?×E=?(??E)?2E?×E=-??×?t?抖B?D???×?×E=-????mH)(?×H=J+抖tt?t??? ?×D=ρvy 麦克斯韦方程组及电流连续性方程。
?2?×B=0?抖骣D抖JE=m琪J+=m+me?琪2?ρv?抖tt抖tt桫?×J=-?2?t?抖EJ?r2?e=m+t?E-m抖t2tem???H)(?t同理
?2H第一个方程指时变磁场激发感应电场和自由电荷激发库仑电场。第二个方程指磁场强度2?H-me=-??JH沿闭合路径的线积分等于该路径所包围的电流I(传导电流的代数和)，对静态场?t2?D?0，它化为安培环路定律。此方程也表明磁场存在着漩涡源J。第三个方程的D包括?t库仑电场，也包括感应电场，感应电场不是起源于电荷，取??0，从而得??D=0，是无散场。
三、多自由度体系的小振动
自由振动
??V?1??2VV(q)?V(0)????q????2??????q??0??q??q??qq??????0
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k??V?T?1??2V??2???q??q?1?k??q?q?2????k?????0
1a??(q)q?q??2??将a??(q)在平衡位置展开，只保留零阶项，并记
m???a??(0)?m???T?于是体系的拉氏函数为
1?m??q?q? 2??L?T?V?1??m??q?q??k??q?q?? 2??代入拉氏方程
d??L??L?0?????????(i?1,2,???dt??qi??qi,s)，得
?m??q??k??q???0(因为q?、q?是相互作用的) ??写成矩阵形式为：
???Kq???0??????????????????????????????????????????????Mq
?m11m12????m21m22M???ms1ms2m1s??k11k12??m2s???k21k22,K?????mss??ks1ks2k1s??q1???? k2s?q???2?,q??????kss??qs?(1-11)
设(1-11)有形式解
?(?)ei?t??Aq?A1????A2??ei?t 代入式(1-11)得??2M?(?)?0，即 ??K?A??????A?s????
??m11?2?k11?2??m21??k21????m?2?ks1?s1?m12?2?k12?m22?2?k22?ms2?2?ks2?m1s?2?k1s??A1??????m2s?2?k2s??A2???0
??????A?mss?2?kss???s??(1-12)
这是一个关于A1?,行列式为零，即
,As?的线性齐次方程组，称为本证方程。它具有非零解的条件是系数
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det(?m???2?k??)?0
2
(1-13)
该方程称为本证值方程，从它可解出s个?，可以证明它们全是正的。
对每个?，存在??两个频率值，所以解可写成
2
?(?)??ei?t??e?i?t?或q?(?)cos(?t??) ??A??Aq??考虑方程(1-13)解得s个非负?值就行了。将它们依次记为?1,对每一个简正频率?l，可从方程(1-12)解出一组振幅A1l,坐标的解
,?s，并称之为简正频率。
,Asl，它们对应于一组广义
?q1l??A1l??????q2l???A2l?cos(?t??)
ll?????????qsl??Asl?或简记为
??l?cos??t??? ??l??Aqll?l?(1-14)
?(l?1,如果把A为度规矩阵的内积
?(或K?),s)看作是s维笛卡尔坐标空间中的矢量，则可以引入它们以M
??l?,A??m??A??l?MA???m? A?的长度 和矢量A?l???l??A?对应的单位矢量为 与A?l???l?,A??l? A?a?l??l???l?A??l? ?A?，使它们彼此正交，即 可以证明，总可适当选取矢量A??l?,A??m???? Allm相应的单位矢量是正交归一的，即
??l?,a??m???lm a其中?lm为克龙尼克(Kroneck)记号。
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方程(3-11)的通解为各频率成分(3-14)的线性叠加，即
引入简正坐标
?(l)Ccos(?t??) ???Clq??l???Aqlllll(1-15)
?l?Clcos(?lt??l)????(l?1,,s)
每个简正坐标以单一的简正频率振荡。于是方程(1-15)可写成矩阵形式
?q1????q2??A??l??A??2??A??s??????qs?????1??A11?????2???A21????????s??As1A12A22As2A1s???1????A2s???2? ??????Ass???s????或???A??1q??A?，即广义坐标与简正坐标相差一线性变换。 可简记为q?使矩阵M?和K?同时对角化 可以证明矩阵A?TMA?????A
T?KA?????A根据以上两式，体系的动能和势能可分别写成
1T?1?T?T???1?T?1?Mq???????l?l2qAMA?????2222l
1T?1?T?T???1?T?1????l?l2?Kq???V?qAKA?????2222lT?于是拉氏函数
L?T?V?代入拉氏方程，得
112????l?l2 ??ll2l2l?l?l??l?l?0?????或????l??l2?l?0
其中?l?耦的。
?l 为简正频率。上面的方程表明若一开始就采用简正坐标，则运动方程是退?l第十二章 机械波
声波需要介质才能传播，真空中不能传播声波；电磁波却可以在真空中传播；光即具有粒子性也有波动性。虽然各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，即它们都有类似的波动方程。
机械振动在弹性介质中的传播称为机械波，波分为横波(transverse wave)和(longitudinal wave)。声波是纵波，又称疏密波；琴弦波、电磁波(电场、磁场和波的传播方向互相垂直)是横波。
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大学物理优秀教案--机械振动与机械波
