傅里叶变换
(a) 信号f(t); (b) 频谱
解 图示信号f(t)可表示为
?at?et?0?f(t)???at??et?0 (a>0) ?
F(j?)??0???eeat?j?tdt???0e??te?j?tdt11?2?????j2??j???j?a??2
例 5 求单位冲激函数δ(t)的频谱函数。
f(t) F(j?)1?(t)o(a)to(b)?
信号δ(t)及其频谱
(a) 单位冲激信号δ(t); (b) δ(t)的频谱
解
F(j?)??j?t?(t)edt?1????
可见，冲激函数δ(t)的频谱是常数1。也就是说，δ(t)中包含了所有的频率
分量， 而各频率分量的频谱密度都相等。 显然， 信号δ(t)实际上是无法实现的。
例 4.4-6 求直流信号1的频谱函数。
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物理与电子信息学院
f (t)1F(j?)2???(?)o(a)直流信号f(t)及其频谱 (a) 直流信号f(t); (b) 频谱
o(b)?
解 直流信号1可表示为
f(t)?1???t??
F(j?)?????1?e?j?tdt
例 7 求符号函数Sgn(t)的频谱函数。
??1Sgn(t)?????1考察例 4 所示信号f(t)
t?0t?0
t?0t?0
?at?e?f(t)???at???e(??0)当α→0时，其极限为符号函数Sgn(t)。因而可以用求f(t)的频谱函数F(jω)
当α→0的极限的方法来求得Sgn(t)的频谱函数。例4所示信号的频谱函数为
2??j2 ，从而有 2???
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傅里叶变换
Sgn(t)1X(?)o-1(a)to?(b)符号函数Sgn(t)及其频谱 (a)Sgn(t)的波形； (b) 频谱
例 8 求阶跃函数ε(t)的频谱函数。
解：由阶跃函数ε(t)的波形容易得到
?(t)?11?Sgn(t)22
从而就可更为方便地求出ε(t)的频谱函数， 即
??(t)1X(?)1-?toR(?)???(?)o?1-?(a)(b)
阶跃函数及其频谱 (a) ε(t)的波形； (b) 频谱
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物理与电子信息学院
(b) 根据傅里叶变换的概念，一个非周期信号可以表述为指数函数的积分， 即
1. 线性 若
f1(t)?F1(j?),f2(t)?F2(j?),
且设a1, a2为常数，则有
a1f1(t)?a2f2(t)?a1F1(j?)?a2F2(j?)
2. 时移性
若f(t) F(jω)， 且t0为实常数(可正可负)，则有
f(t?t0)?F(j?)e?此性质可证明如下：
j?t0
F[f(t?t0)]?????f(t?t0)e?j?tdt
3. 频移性
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傅里叶变换
频谱搬移的原理是将信号f(t)乘以载频信号cosω0t或sinω0t, 从而得到f(t)cosω0t或f(t)sinω0t 信号。思考一下f(t)cosω0t或f(t)sin ω0t 信号的频谱函数是多少？
4. 尺度变换
当a>0时：
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傅里叶变换
