高中選修數學乙(上)課本 1-4 二項分布 40
1-4 二項分布
隨機試驗通常會有許多種結果。如果我們只對其中某幾種結果有興趣，就把這些結果統稱為「成功」，而將其餘結果稱為「失敗」；像這樣把結果只分為兩類的試驗，稱為白努利試驗。如果我們可以重複執行一項白努利試驗，並且每次試驗的結果均互相獨立，這樣的獨立重複試驗是可以用二項分布來清楚描述的。本節將要介紹二項分布，並計算其期望值與標準差，作為爾後抽樣統計之基礎。
1 重複試驗
如果一個隨機試驗的結果僅有兩種情形，就稱為一個白努利試驗，習慣上將這兩種情形分別稱為「成功」或「失敗」。生活中有許多試驗都是白努利試驗。例如：投擲一枚均勻硬幣，若我們將出現正面稱為成功，則出現反面便稱為失敗；投擲一顆骰子，若出現 1 點稱為成功，則出現非 1 點便稱為失敗；至廟裡拜拜擲筊，若我們將出現一個陽面一個陰面（聖筊）的情形稱為成功，則出現兩個陽面（哭筊）或是兩個陰面（笑筊），便稱為失敗，如圖 9；購買一張樂透彩，可將中獎情形稱為成功，沒中獎便稱為失敗。
圖 9
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我們把「在相同條件下重複執行一個試驗」稱為重複試驗，而當每次結果互不影響時，稱為獨立重複試驗。更嚴格來說，假設一試驗的樣本空間為 {x1，x2，…，xn}，且樣本 xi 發生的機率為 pi。重複此試驗兩次，如果對所有 i，j，「第一次試驗的結果為 xi」及「第二次試驗的結果為 xj」皆為獨立事件，即稱這整個試驗為兩次的「獨立重複試驗」，而第一次試驗結果為 x1 且第二次試驗結果為 xj 的機率為 pi pj，更多次的獨立重複事件亦可類似定義。我們先來看一個重複執行白努利試驗的情形。
?安打數?假設有一棒球選手，依據其平常比賽的表現得知其打擊率?為 0.3，假設每次打??打數?擊都是獨立事件，則在有四個打數的一場比賽中，恰擊出一支安打的機率為多少？
我們將四個打數中恰擊出一支安打的情形製成下表：
四次打擊情形 1 2 3 4 機率
○ ╳ ╳ ╳ （0.3）（0.7）（0.7）（0.7） ╳ ○ ╳ ╳ （0.7）（0.3）（0.7）（0.7） ╳ ╳ ○ ╳ （0.7）（0.7）（0.3）（0.7） ╳ ╳ ╳ ○ （0.7）（0.7）（0.7）（0.3）
四個打數中恰擊出一支安打的方法數共 C14 種，而每一種情形對應的機率都是 （0.3）1（0.7）3，所以四個打數中恰擊出一支安打的機率為
C14?0.3??0.7?。
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一般來說，設一白努利試驗出現成功的機率為 p，失敗的機率為 1－p。我們要如何求出獨立重複試驗執行 n 次中，出現 k 次成功的機率？因為 n 次試驗中，取 k 次為成功的方
n－k，故獨立重複試驗法數是 Ckn，而每一種情形的機率皆為 pk（1－p） n 次中，恰出現 k 次
成功的機率為
Cknpk?1?p?
n?k。
※獨立重複白努利試驗的機率
設一白努利試驗成功的機率為 p，則獨立重複白努利試驗 n 次中，恰出現 k 次成功 的機率為
Cknpk?1?p?n?k。
例題1 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 小淇投籃的命中率為 機率。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 解 投籃命中成功的機率為
41，則失敗的機率為 。投籃 5 次恰命中 3 次， 55表示在此重複試驗中恰有 3 次成功、2 次失敗，因此方法數共 5!4??1?＝C35 種，而每一種所對應的機率都是?????， 3!2!?5??5?324，假設每次投籃的結果是互相獨立的，試求投籃 5 次恰命中 3 次的54??1?所以投籃 5 次恰命中 3 次的機率為 C?????。
?5??5?5332
隨堂練習 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 假設某保險業務員向客戶推銷保險，成功的機率永遠固定等於 0.2。現在他連續向 6 個人推銷保險，試求這 6 個人恰有 4 個人向他買保險的機率。
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2 二項分布
一袋裝有 2 顆紅球及 1 顆白球，自袋中取出一球，取後放回，設取到紅球為成功。今連續取球 4 次，則成功的次數有 0，1，2，3，4。由重複試驗的討論，可得 k 次成功的機率為
?2??1?C?????3??3?4kk4?k，k＝0，1，2，3，4。
令隨機變數 X 表示成功的次數，pX 為其機率。列表可得 X 0 1 42 3 24 1pX ?2??1?C04?????3??3?1?81 0?2?C14???3?8?811?1????3? 34?2??1?C2?????3??3? 24?812?2??1?C34?????3??3? 32?8134?2??1?C4?????3??3? 16?8140因為成功次數必為 0，1，2，3，4 之一，故此 5 個機率和為 1。這個事實也可以用二項式定理來說明：
?2??1??2?C?????C14???3??3??3?40041?1??21?4?2??1??L?C?4??????????1。 ?3??3??3??33?3404由以上討論可知 pX 是一個機率質量函數，而上表就是一個機率分布表。
一般而言，設某一白努利試驗成功的機率為 p，失敗的機率為 q＝1－p，其中 p ≥ 0，
q ≥ 0。令隨機變數 X 的取值表示這項白努利試驗獨立重複試驗 n 次中成功的次數，故有
P（X＝k）＝Cknpkqn?k，k＝0，1，2，…，n。
將其列表得
X pX 觀察上表，有
0 C0np0qn 1 C1np1qn1 －… … k Cknpkqnk －… … n Cnnpnq0 高中選修數學乙(上)課本 1-4 二項分布 44
(1) 每一個機率皆為正數。
(2) 由二項式定理，所有機率和為
C0np0qn＋C1np1qn1＋…＋Cknpkqnk＋…＋Cnnpnq0＝（p＋q）n＝1。
－
－
因此 P（X＝k）＝Cknpkqnk（k＝0，1，2，…，n）為隨機變數 X 的機率質量函數，而上表
－
即為機率分布表。
因為 Cknpkqnk 恰為（p＋q）n 二項展開式中的項，所以我們又將此隨機變數 X 的機率
－
分布稱為二項分布。
※二項分布
設白努利試驗成功的機率為 p，失敗的機率為 q＝1－p，其中 p ≥ 0，q ≥ 0。令隨機變數 X 的取值表示此試驗獨立重複試驗 n 次中成功的次數，則隨機變數 X 的機率質量函數為
P（X＝k）＝Cknpkqnk，k＝0，1，2，…，n。
－
此隨機變數 X 的機率分布稱為二項分布，記為 B（n，p）。
例題2 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2，小芬從一堆豌豆種子中隨機挑選 510 顆放在教室內，假設這些種子發芽與否互相獨立。設隨機變數 X 的取值代表這 10 顆種
根據資料記載，某種豌豆種子在室溫下會發芽的機率為
子中發芽的數目，試求 X 的機率質量函數。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 解 將發芽視為成功，則成功的機率為
23，失敗的機率為 ， 55?2?由題意看出隨機變數 X 的機率分布為二項分布B?10,?，
?5?則 X 的機率質量函數為
?2??3?P（X＝k）＝C?????5??5?10kk10?k，k＝0，1，2，…，10。
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