第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题
一、直线恒过定点问题
例1. 已知动点E在直线l:y??2上，过点E分别作曲线C:x?4y的切线EA,EB， 切点为A、B, 求证：直线AB恒过一定点，并求出该定点的坐标；
2x12x2x21?y'?x 解：设E(a,?2),A(x1,),B(x2,)，?y?44422x121过点A的抛物线切线方程为y??x1(x?x1)，?切线过E点,42x121??2??x1(a?x1),整理得：x12?2ax1?8?0
422同理可得：x2?2ax2?8?0
?x1,x2是方程x2?2ax?8?0的两根?x1?x2?2a,x1?x2??8
a2?4可得AB中点为(a,)，又kAB22x12x2?y1?y244?x1?x2?a ??x1?x2x1?x242a2aa ?直线AB的方程为y?(?2)?(x?a)，即y?x?2?AB过定点(0,2).
222例1改为：已知A、B是抛物线y?2px(p?0)上两点，且OA?OB，证明：直线AB过定点(2p,0)．
2x2xx?y2?1上任意一点，直线l的方程为0?y0y?1， 例2、已知点P(x0,y0)是椭圆E:22直线l0过P点与直线l垂直，点M（-1，0）关于直线l0的对称点为N，直线PN恒
过一定点G，求点G的坐标。
解：直线l0的方程为x0(y?y0)?2y0(x?x0)，即2y0x?x0y?x0y0?0
设M(?1,0)关于直线l0的对称点N的坐标为N(m,n)
?2x03?3x02?4x0?4x0?n???m??x02?42y0??m?1 则?，解得?
432?n?2x0?4x0?4x0?8x0?2y?m?1?x0n?xy?00002??2y(4?x?2200)?n?y0x04?4x03?2x02?8x0?8? 直线PN的斜率为k? ?32m?x02y0(?x0?3x0?4)x04?4x03?2x02?8x0?8 从而直线PN的方程为： y?y0?(x?x0) 322y0(?x0?3x0?4)2y0(?x03?3x02?4) 即x?4y?1 32x0?4x0?2x0?8x0?8 从而直线PN恒过定点G(1,0) 二、恒为定值问题
例3、已知椭圆两焦点F1、F2在y轴上，短轴长为22，离心率为2，P是椭圆在第一 2uuuruuuur象限弧上一点，且PF1?PF2?1，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭
圆于A、B两点。 （1）求P点坐标；
（2）求证直线AB的斜率为定值；
y2x2解：（1）设椭圆方程为2?2?1，由题意可得
aby2x2 a?2,b?2,c?22，所以椭圆的方程为4?2?1
P(x0,y0)(x0?0,y0?0) 则F1(0,2),F2(0,?2)，设
uuuruuuur 则PF1?(?x0,2?y0),PF2?(?x0,?2?y0), uuuruuuur22?PF?PF?x?(2?y)?1 1200
222x0y04?y02??1. ?x0? Q点P(x0,y0)在曲线上，则24224?y02?(2?y0)?1，得y0?2，则点P的坐标为(1,2)。 从而2 （2）由（1）知PF1//x轴，直线PA、PB斜率互为相反数，
设PB斜率为k(k?0)，则PB的直线方程为：y?2?k(x?1)
?y?2?k(x?1)?222 由?x2y2得(2?k)x?2k(2?k)x?(2?k)?4?0
?1???24
2k(k?2)k2?22k?2?1? 设B(xB,yB),则xB? 22?k2?k2k2?22k?242k 同理可得xA?，则 x?x?AB222?k2?k yA?yB??k(xA?1)?k(xB?1)? 所以直线AB的斜率kAB?
例4过抛物线y?2px(p?0)的焦点F作一直线叫抛物线于A、求B两点，的值．
28k 22?kyA?yB?2为定值。
xA?xB11?|AF||BF|x2y2??1相交于A、B两点,已知点 例5、已知动直线y?k(x?1)与椭圆C:553uuuruuur7 M(?,0)， 求证：MA?MB为定值.
3x2y2??1中得(1?3k2)x2?6k2x?3k2?5?0 解: 将y?k(x?1)代入
553 ???36k?4(3k?1)(3k?5)?48k?20?0，
42226k23k2?5 x1?x2??2，x1x2?
3k?13k2?1uuuruuur7777所以MA?MB?(x1?,y1)(x2?,y2)?(x1?)(x2?)?y1y2
333377?(x1?)(x2?)?k2(x1?1)(x2?1)
33749 ?(1?k2)x1x2?(?k2)(x1?x2)??k2
393k2?576k2492?(?k)(?2)??k2 ?(1?k)23k?133k?192?3k4?16k2?54942???k。 ?23k?199课后作业：
x2?y2?1.如图所示，斜率为k(k＞0)且不 1. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:3过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E， 射线OE交椭圆C于点G，交直线x??3于点D(?3,m). （Ⅰ）求m2?k2的最小值；
（Ⅱ）若OG?OD?OE，求证：直线l过定点； 解：（Ⅰ）由题意:设直线l:y?kx?n(n?0),
2?y?kx?n?222(1?3k)x?6knx?3n?3?0, 由?x2消y得:2??y?1?3 ??36kn?4(1?3k)×3(n?1)?12(3k?1?n)?0 设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点E(x0,y0),则由韦达定理得:
222222x1?x2=
?6knn?3kn?3knx?y?kx?n??k?n?,即,, 00022221?3k1?3k1?3k1?3k?3knn,), 所以中点E的坐标为(1?3k21?3k2 因为O、E、D三点在同一直线上，
所以kOE?KOD，即?1m1??， 解得m?， 3k3k1?k2?2,当且仅当k?1时取等号, 即m2?k2的最小值为2. 2km （Ⅱ）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为y??x,
3 所以m2?k2=
m?y??x?m2?3 所以由?2得交点G的纵坐标为yG?, 2m?3x??y2?1??3m2nn2y?m?m? 又因为yE?,,且?，所以, OEOG?ODDm2?31?3k21?3k2 又由（Ⅰ）知: m?1,所以解得k?n,所以直线l的方程为l:y?kx?k, k 即有l:y?k(x?1), 令x??1得,y=0,与实数k无关,
所以直线l过定点(-1,0).
2 2. 已知点N为曲线y?4x(x?0)上的一点， 若A(4,0)，是否存在垂直x轴的直线l
被以AN为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线l的方程；若不存在， 请说明理由．
解：设AN的中点为B，垂直于x轴的直线方程为x?a， 以AN为直径的圆交l于C,D两点，CD的中点为H．
QCB?11222?CH?CB?BH?[(x?4)2?y2]?(x?2a?4)2
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x?4111?a?x?2a?4 AN?(x?4)2?y2，BH?2222
1 ?[(4a?12)x?4a2?16a]?(a?3)x?a2?4a
4 所以，令a?3，则对任意满足条件的x，
都有CH??9?12?3（与x无关）， 即CD?23为定值．
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圆锥曲线中的定点定值问题
