小题必刷卷(四) 考查范围:第13讲~第15讲
导数及其应用
题组一 刷真题
角度1 导数的运算及几何意义
1.[2024·全国卷Ⅰ] 设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为
( )
A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x
2.[2016·山东卷] 若函数y=f(x)的图像上存在两点,使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是 A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3
3.[2016·四川卷] 设直线l1,l2分别是函数f(x)= - 图像上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交
于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)
4.[2024·天津卷] 已知函数f(x)=exln x,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为 . 5.[2024·全国卷Ⅱ] 曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为 .
6.[2017·天津卷] 已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图像在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为 .
7.[2016·全国卷Ⅲ] 已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 .
8.[2015·全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则 a= . 9.[2015·全国卷Ⅱ] 已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= . 角度2 导数的应用
10.[2017·全国卷Ⅲ] 函数y=1+x+
的部分图像大致为 ( )
( )
A B
C D
图X4-1
11.[2017·山东卷] 若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是 ( ) A.f(x)=2-x B.f(x)=x2 C.f(x)=3-x D.f(x)=cos x
12.[2016·四川卷] 已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a= ( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2
13.[2024·江苏卷] 若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为 .
14.[2017·江苏卷] 已知函数f(x)=x3-2x+ex- ,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是 .
题组二 刷模拟
15.[2024·贵州遵义航天中学月考] 曲线y=xln x在点M(e,e)处的切线方程为
( )
A.y=x-e B.y=x+e C.y=2x-e D.y=2x+e
16.[2024·湖南五市十校联考] 已知函数f(x)=2x-aln x,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+y+1=0垂直,则a= ( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2
17.[2024·大连一模] 若曲线y=ex在点P(x0, )处的切线在y轴上的截距小于0,则x0的取值范围是
( )
A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(2,+∞) D.
18.[2024·四川雅安4月联考] 已知定义在R上的函数f(x)满足f(3)=16,且f(x)的导函数f'(x)<4x-1,则不等式f(x)<2x2-x+1的解集为 ( ) A.{x|-3
19.[2024·石家庄模拟] 曲线y=e+x的一条切线经过坐标原点,则该切线方程为 ( ) A.y=2ex B.y=ex C.y=3x
D.y=2x
x-1
20.[2024·安徽安庆二模] 已知函数f(x)=2ef'(e)ln x-(e是自然对数的底数), 则f(x)的极大值为
( )
B.-
A.2e-1
C.1 D.2ln 2
21.[2024·重庆巴蜀中学月考] 已知函数f(x)为偶函数,且当x≥0时,f(x)=x+sin x,则关于x的不等式f(x)>f(2x-1)的解集为 ( ) A.{x|1 B.{x|x<1} C.xx<或x>1 D.x 22.[2024·山东德州二模] 函数f(x)在实数集R上连续可导,且2f(x)-f'(x)>0在R上恒成立,则以下不等式一定成立的是 ( ) A.f(1)> B.f(1)< C.f(-2)>e3f(1) D.f(-2) 23.[2024·郑州三模] 已知函数f(x)=ax+x2-xln a,若对任意x1,x2∈[0,1],不等式|f(x1)-f(x2)|≤a-2恒成立,则a的取值范围是 ( ) A.[e2,+∞) B.[e,+∞) C.[2,e] D.[e,e2] 24.[2024·广东茂名联考] 设曲线y=ax2在点P(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则点P(1,a)到直线y=-的距离为 . 25.[2024·广西南宁二模] 若函数f(x)=x3-3x2-a(a≠0)只有2个零点,则a= . 26.[2024·湖南衡阳三模] 若函数f(x)=x-2的图像在点(a,a-2)(a>0且a≠1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为3,则loga= . 小题必刷卷(四) 1.D [解析] 因为f(x) 为奇函数,所以a-1=0,即a=1,所以f(x)=x3+x,所以f'(x)=3x2+1.因为f'(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D. 2.A [解析] 由函数图像上两点处的切线互相垂直可知,函数在两点处的导数之积为-1.对于A,y'=(sin x)'=cos x,存在x1,x2使cos x1·cos x2=-1. 3.A [解析] 不妨设P1,P2两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),其中0 - 由于l1,l2分别是点P1,P2处的切线,所以l1的斜率为- ,l2的斜率为 .又l1与l2垂直,知,f'(x)= 且0 解得交点P的横坐标为 ,故S△PAB= ×2× = ≤1,当且仅当x1= ,即 - x1=1时,等号成立.而0 5.2x-y-2=0 [解析] 因为y'=,所以曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线斜率为=2,所以切线方程为y-0=2(x-1),即2x-y-2=0. 6.1 [解析] ∵f'(x)=a-,∴f'(1)=a-1,又f(1)=a,∴函数f(x)=ax-ln x的图像在点(1,f(1))处的切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),整理得y=(a-1)x+1,∴切线l在y轴上的截距为1. 7.2x-y=0 [解析] 当x>0时,-x<0,∵当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,∴f(-x)=ex-1+x.又∵f(-x)=f(x),∴当x>0时,f(x)=ex-1+x,f'(x)=ex-1+1,即f'(1)=2,∴曲线在点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),整理得2x-y=0. 8.1 [解析] 因为f'(x)=3ax2+1,所以函数在点(1,f(1)),即点(1,2+a)处的切线的斜率k=f'(1)=3a+1.又切线过点(2,7),则经过点(1,2+a),(2,7)的直线的斜率k= - ,所以 3a+1= - ,解得 a=1. 9.8 [解析] 对函数y=x+ln x求导得y'=1+,函数图像在点(1,1)处的切线的斜率k=y'|x=1=2,所以在点(1,1)处的切线方程为y=2x-1,又该切线也为函数y=ax2+(a+2)x+1的切线,所以由 - 得ax2+ax+2=0,此方程应有唯一解,所以Δ=a2-8a=0,得a=8或a=0(舍). 10.D [解析] 函数y=1+x+且y'= 的图像可以看成是由 y=x+ 的图像向上平移一个单位长度得到的,并 - '=1+,当 x→∞时,y'→1,所以可确定答案为A或D,又当x=1时,y=1+1+sin 1>2,由图像可以排除A,故选D. 11.A [解析] 令g(x)=exf(x).对于A,f(x)的定义域为R,g(x)=ex2-x= 在R上单调递增,所以f(x)具有M性质;对于B,f(x)的定义域为R,g(x)=exx2,g'(x)=exx2+2exx=ex(x2+2x)≥0在R上不恒成立,所以g(x)在R上不单调递增,所以f(x)不具有M性质;对于C,f(x)的定义域为R,g(x)=ex3-x= 在R上单调递减,所以f(x)不具有M性质;对于D,f(x)的定义域为R,g(x)=excos x,g'(x)=excos x-exsin x=ex(cos x-sin x)≥0在R上不恒成立,所以g(x)在R上不单调递增,所以f(x)不具有M性质.故选A. 12.D [解析] 由已知得,f'(x)=3x2-12=3(x2-4)=3(x+2)(x-2).于是当x<-2或x>2时,f'(x)>0;当-2 极小值,故a=2. 13.-3 [解析] 由题意得,f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).当a≤0时,对任意x∈(0,+∞),f'(x)>0,则函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则f(x)>f(0)=1,则f(x)在(0,+∞)上没有零点,不满足题意,舍去.当a>0时,令f'(x)=0及x>0,得x=,则当x∈0,区间是 ,+∞ 时,f'(x)<0,当x∈ ,+∞ 时,f'(x)>0,因此函数f(x)的单调递减区间是0, ,单调递增 ,在x=处f(x)取得极小值f =-+1.而函数f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点,所以 f =-+1=0,解得a=3,因此f(x)=2x3-3x2+1,则f'(x)=2x(3x-3).令f'(x)=0,结合x∈[-1,1],得x=0或x=1.而当x∈(-1,0)时,f'(x)>0,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,则函数f(x)在(-1,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数,所以f(x)max=f(0)=1.又f(-1)=-4,f(1)=0,所以f(x)min=-4,故f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为-3. 14. - [解析] 因为f(-x)=-x3+2x+e-x-ex=-f(x),f(0)=0,所以f(x)是奇函数,则f(a-1)+f(2a2)≤0可化为f(2a2)≤f(1-a).又f'(x)=3x2-2+ex+e-x≥3x2-2+2 · - =3x2≥0,所以f(x)在R上单调递增,则2a2≤1-a,即-1≤a≤. 15.C [解析] 由题知y'=ln x+1,所以所求切线的斜率k=ln e+1=2,所以切线方程为y-e=2(x-e),即y=2x-e,故选C. 16.A [解析] ∵函数f(x)=2x-aln x,∴f'(x)=2-,∴f'(1)=2-a=1,解得a=1.故选A.
高三数学二轮复习小题必刷卷(四) 导数及其应用
