2021届河北省邯郸市高三第一次模拟考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z??1?i，则
z?2?（ ） 2z?zA．-1 B．1 C．?i D．i
22.设全集U?(?3,??)，集合A?{x|1?4?x?2}，则CUA?（ ）
A．(?3,2)C．(?3,2][3,??) B．(?2,2)[3,??) (3,??) D．[?2,2](3,??)
3.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.7，0.6，只有通过前一天才能进入下一关，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（ ） A．0.56 B．0.336 C．0.32 D．0.224
4.?ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知absinC?20sinB，a?c?41，且
228cosB?1，则b?（ ）
A．6 B．42 C．35 D．7
5.如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
x??2?1,x?16.若函数f(x)??2在R上是增函数，则a的取值范围为（ ）
???x?ax?1,x?1A．[2,3] B．[2,??) C．[1,3] D．[1,??)
?x?y?2?7.记不等式组?2x?y?2，表示的平面区域为?，点P的坐标为(x,y).有下面四个命题：
?y?2?0?p1：?P??，x?y的最小值为6；p2：?P??，p3：?P??，x?y的最大值为6；p4：?P??，
其中的真命题是（ ）
A．p1，p4 B．p1，p2 C．p2，p3 D．p3，p4
4?x2?y2?20； 525?x2?y2?25. 5(1?2x)n(1?2x)n38.若的展开式中x的系数为80，其中n为正整数，则的展开式中各项系数的绝对值之
xx和为（ ）
A．32 B．81 C．243 D．256
9.我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱.今合买好、坏田1顷，价值10000钱.问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S的单位为钱，则输出的x，y分别为此题中好、坏田的亩数的是（ ）
A． B． C． D． 10.若仅存在一个实数t?(0,范围是（ ）
A．[,) B．[,
?)，使得曲线C：y?sin(?x?)(??0)关于直线x?t对称，则?的取值
2641017410) C．(,] D．(,] 333333?173311.设正三棱锥P?ABC的高为H，且此棱锥的内切球的半径为R，若二面角P?AB?C的正切值为
35，则H?（ ） RA．5 B．6 C．7 D．8
x2y212.设双曲线?：2?2?1(a?0,b?0)的左顶点与右焦点分别为A，F，以线段AF为底边作一个等
ab腰?AFB，且AF边上的高h?AF.若?AFB的垂心恰好在?的一条渐近线上，且?的离心率为e，则下列判断正确的是（ ） A．存在唯一的e，且e?(,2)
B．存在两个不同的e，且一个在区间(1,)内，另一个在区间(,2)内 C．存在唯一的e，且e?(1,)
D．存在两个不同的e，且一个在区间(1,)内，另一个在区间(,2)内
323232323232第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.在平行四边形ABCD中，若AD??AC??BA，则???? ． 14.若圆C：x?(y?212)?n的圆心为椭圆M：x2?my2?1的一个焦点，且圆C经过M的另一个焦2m点，则圆C的标准方程为 ． 15.若2cos(2?4??2??tan??? ． )?1?3sin(???)，?,??(0,)，则
tan?2216.已知集合M?{x|x??}，A?{x?M|x?3x?1?a?0}，B?{x?M|x?2?a?0}，若集合
1232AB的子集的个数为8，则a的取值范围为 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
nn?1217.已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，bn?an?2?1，且Sn?Tn?2?n?2.
（1）求Tn?Sn； （2）求数列{bn}的前n项和Rn. n218.某大型超市在2018年元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有3个红球，3个黄球和1个蓝球（这些小
球除颜色外大小形状完全相同），从中随机一次性取3个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下：
①凡购物满100（含100）元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会； ②凡购物满188（含188）元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会；
③若取得的3个小球只有1种颜色，则该顾客中得一等奖，奖金是一个10元的红包； ④若取得的3个小球有3种颜色，则该顾客中得二等奖，奖金是一个5元的红包； ⑤若取得的3个小球只有2种颜色，则该顾客中得三等奖，奖金是一个2元的红包.
抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据（单位：元），绘制得到如图所示的茎叶图.
（1）求这20位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数（结果精确到整数部分）； （2）记一次抽奖获得的红包奖金数（单位：元）为X，求X的分布列及数学期望，并计算这20位顾客（假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖）在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值.
19.如图，在各棱长均为2的正三棱柱ABC?A1B1C1中，D，E分别为棱A1B1与BB1的中点，M，N为线段C1D上的动点，其中，M更靠近D，且MN?C1N.
（1）证明：A1E?平面AC1D；
（2）若NE与平面BCC1B1所成角的正弦值为10，求异面直线BM与NE所成角的余弦值. 2020.已知p?0，抛物线C1：x?2py与抛物线C2：y?2px异于原点O的交点为M，且抛物线C1在点M处的切线与x轴交于点A，抛物线C2在点M处的切线与x轴交于点B，与y轴交于点C. （1）若直线y?x?1与抛物线C1交于点P，Q，且PQ?26，求OP?OQ； （2）证明：?BOC的面积与四边形AOCM的面积之比为定值. 21.已知函数f(x)?3e?x，g(x)?9x?1. （1）比较f(x)与g(x)的大小，并加以证明；
（2）当0?x?a时，xe?4x?5?f(x)?a，且(m?3)e?m?3m?5?0(0?m?2)，证明：
xm2x2220?a?m.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔将所选题目对应的题号右侧方框涂黑，并且在解答过程中写清每问的小题号.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
??x??在平面直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为??y???233?t23t3?t（t为参数，且t?0），以坐标原点为极点，
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为??4cos?.
（1）将曲线M的参数方程化为普通方程，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求曲线M与曲线C交点的极坐标(??0,0???2?). 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f(x)?x?4?x?1?3. （1）求不等式f(x)?2的解集；
（2）若直线y?kx?2与函数f(x)的图象有公共点，求k的取值范围.
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