论文—第二节定积分在实际问题中的应用

第二节 定积分在实际问题中的应用Application of Definite Integral 教学目的: 熟练掌握求解平面图形的面积方法,并能灵活、恰当地选择积分变量;会求平行截面面积已知的立体的体积,并能求解旋转体的体积;能够解决物理应用中变力作功、液体压力方面的问题. 内 容: 定积分几何应用;定积分在物理中的应用. 教学重点: 求解平面图形的面积;求旋转体的体积. 教学难点: 运用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积 教学方法: 精讲:定积分的几何应用;多练:用定积分求平面图形的面积和立体的体积 教学内容: 一、定积分的几何应用 1. 平面图形的面积 设函数y?f1(x),y?f2(x)均在区间[a,b]上连续,且f1(x)?f2(x),x?[a,b],现计算由y?f1(x),y?f2(x),x?a,x?b所围成的平面图形的面积. 分析求解如下: (1) 如图6-3所示,该图形对应变量x的变化区间为[a,b],且所求平面图形的面积S对区间[a,b]具有可加性. (2) 在区间[a,b]内任取一小区间[x,x?dx],其所对应的小曲边梯形的面积,可用以dx为底,f1(x)?f2(x)为高的小矩形的面积(图6-3)中阴影部分的面积)近似代替.即面积微元为 dS?[f1(x)?f2(x)]dx (3) 所求图形的面积 S??[f2(x)?f2(x)]dx ab图6-3 x【例1】 求曲线y?e，直线x?0,x?1及y?0所围成的平面图形的面积. 解 对应变量x的变化区间为[0,1],在[0,1]内任取一小区间[x,x?dx],其所对应小窄条的面积用以dx为底,以f(x)?g(x)?e?0?e为高的矩形的面积近似代替,即面积微元 xx dS?exdx 于是所求面积 S??exdx?ex0110?e?1 【例2】 求曲线y?x及y?2?x所围成的平面图形的面积. 22 ?y?x2解 由?求出交点坐标为(?1,1)和(1,1),积分变量x的变化区间为[?1,1],面2y?2?x?dS?[f(x)?g(x)]dx 积微元 即 dS?(2?x2?x2)dx?2(1?x)dx于是所求面积 2 S??2(1?x2)dx?11?4?(1?x2)dx0112?1 ??4?x?x?3?0?8?3 若平面图形是由连续曲线x??(y),x??(y),(?(y)??(y)),y?c,y?d所围成的,其面积应如何表达呢? 分析求解如下: (1) 对应变量y的变化区间为[c,d],且所求面积S对区间[c,d]具有可加性. (2) 在y的变化区间[c,d]内任取一小区间[y,y?dy],其所对应的小曲边梯形的面积可用以?(y)??(y)为长,以dy为宽的矩形面积近似代替,即面积微元为 dS?[?(y)??(y)]dy 于是所求面积 S??[?(y)??(y)]dy cd 【例3】 求曲线x?y,直线y?x?2所围成的平面图形的面积. 2?x?y2 解 由?解得交点坐标为(?1,1)和(4,2),则对应变量y的变化区间为[?1,2],?y?x?22此时?(y)?y?2,?(y)?y,则面积微元 dS?[?(y)??(y)]dy?(y?2?y2)dy于是所求面积 22 S??dS??(y?2?y2)dy?1?1 13?2?12??y?2y?y? 3??1?29?22【例4】 求由y?x及y?x所围成的平面图形的面积. 解 为了确定积分变量的变化范围,首先求交点的坐标. ?y?x2由?得交点(0,0),(1,1). y?x?方法一 选x为积分变量,则对应x的变化区间为[0,1],此时f(x)?x,g(x)?x面积微元 2dS?[f(x)?g(x)]dx?(x?x2)dx 于是 S??(x?x2)dx01 ?1213?1111??x?x????3?0236?2 方法二 选y为积分变量,对应y的变化区间为[0,1],此时?(y)?y,,?(y)?y则面积微元 dS?[?(y)??(y)]dy?(y?y)dy 于是 S??(y?y)dy03?2212?1??y?y? 2?0?3211???3261注:由此例可知,积分变量的选取不是唯一的,但在有些问题中,积分变量选择的不同,求解问题的难易程度也会不同. x2y2【例5】 求椭圆2?2?1的面积. ab解 椭圆关于x轴,y轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的4倍,即 S?4S1?4?ydx 0a 利用椭圆的参数方程 ?x?acost ??y?bsint应用定积分的换元法,dx??asintdt,且当x?0时,t?0?2,x?a时,t?0,于是 S?4??bsint(?acost)dt2??4ab?2sin2tdt0??4ab?201?cos2tdt2 ?t1??4ab??sin2t?2??ab?24?0 ? 2. 空间立体的体积 (1) 平行截面面积为已知的立体的体积 设某空间立体垂直于一定轴的各个截面面积已知,则这个立体的体积可用微元法求解. 不失一般性,不妨取定轴为x轴,垂直于x轴的各个截面面积为关于x的连续函数S(x),x的变化区间为[a,b]. 该立体体积V对区间[a,b]具有可加性.取x为积分变量,在[a,b]内任取一小区间[x,x?dx],其所对应的小薄片的体积用底面积为S(x),高为dx的柱体的体积近似代替,即体积微元为 dV?S(x)dx 于是所求立体的体积 V??S(x) ab 【例6】 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角?,计算这个平面截圆柱体所得契形体的体积. 解 取该平面与底面圆的交线为x轴建立直角坐标系,则底面圆的方程为x?y?R,222R2?x2. 在x轴的变化区间[?R,R]内任取一点x,过x作垂直于x轴的截面,截得一直角三角形,其底长为y,高度为ytan?,故其面积 1S(x)?y?y?tan?21?y2tan? 21?(R2?x2)tan?2半圆的方程即为y?于是体积 V??S(x)dx?RRR1tan?(R2?x2)dx?R2R1?tan??(R2?x2)dx ?R2R11?tan?(R2x?x3)?R23???23Rtan?3 (2) 旋转体的体积 类型1:求由连续曲线y?f(x),直线x?a,x?b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成立体的体积. 过任意一点x?[a,b]作垂直于x轴的平面,截面是半径为f(x)的圆,其面积为S(x)??f2(x),于是所求旋转体的体积 V??S(x)dxab???f2(x)dxab 【例7】 求由y?x及x?1,y?0所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成立体的体2积. 解 积分变量x轴的变化区间为[0,1],此处f(x)?x,则体积 122142x51?V???(x)dx???xdx??? 00505 【例8】 连接坐标原点O及点P(h,r)的直线,直线x?h及x轴围成一个直角三角形,求将它绕x轴旋转一周而成的圆锥体的体积. r 解 积分变量x的变化区间为[0,h],此处y?f(x)为直线OP的方程y?x,于是体h积 ?r?V????x?dx0?h?r2h2 ??2?xdxh0r2x3h?r2??2??hh303h2 类型2:求由连续曲线x??(y),直线y?c,y?d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转过任意一点y?[c,d],作垂直于y轴的平面,截面是半径为?(y)的圆,其面积为一周而成的立体的体积(c?d). S(y)???2(y),于是所求旋转体的体积 V??S(y)dy????2(y)dy ccdd 【例9】 求由y?x,y?8及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体的体积. 解 积分变量y的变化区间为[0,8],此处x??(y)?33y.于是体积 V???(3y)dy08???ydy0823 35??y3580?96?5x2y2 【例10】求椭圆2?2?1分别绕x轴、y轴旋转而成椭球体的体积. ab 解 若椭圆绕x轴旋转,积分变量x的变化区间为[?a,a],此处 b2y?f(x)?a?x2,于是体积 a2a?b2?Vx????a?x2?dx?a?a?ab2 ?2??(a2?x2)dx?aab2?21?a4?2??ax?x3???ab2a?3??a3