2024年南京大学3201数据库、概率论考研复试核心题库之概率论与数理统计（概率论部分）计算题精编
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一、2024年南京大学3201数据库、概率论考研复试核心题库之概率论与数理统计（概率论部分）计算题精编
1． 在钢线碳含量对于电阻的效应的研究中，得到以下的数据：
设对于给定的x，y为正态变量，且方差与x无关. (1)画出散点图. (2)求线性回归方程(3)求的方差的无偏估计. (4)检验假设(6)求x=0.5处
.
的置信水平为0.95的置信区间.
(5)若回归效果显著，求b的置信度为0.95的置信区间. (7)求x=0.50处观察值Y的置信度为0.95的预测区间. 【答案】(1)作散点图
.
设回归方程为(2)
，由题设：
故得
于是得回归直线方程为
(3)的无偏估计：
将
代入得：的无偏估计值为：
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(4)检验假设
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故拒绝假设，即认为回归方程是显著的.
，
，其点估计为
，
(5)b的置信度为0.95的置信区间为即(6)当
则所求置信区间为
其中20.438).
(7)当
，代值计算得所求置信区间为(20.029，
时，观察值Y的置信度为0.95的置信区间为
而
得预测区间为
2． 将指数回归模型
转化为一个线性回归模型(即对数-对数模型)，分析Y与X之间的弹性系数的特点. 【答案】将指数回归模型即作对数变换对指数回归模型
两边取对数，得到
，得线性回归模型
，计算Y与X之间的弹性系数
故弹性系数为，也就是对数变换后得到的线性回归模型中
前的系数.
3． 一工人修理一台机器需两个阶段，第一阶段所需时间(小时)服从均值为0.2的指数分布，第二阶段所需时间服从均值为0.3的指数分布，且与第一阶段独立.现有20台机器需要修理,求他在8小时内完成的概率.
【答案】设修理第(=1.2,…，20)台机器，第一阶段耗时，第二阶段为，则共耗时已知
，故
.
20台机器需要修理的时间可认为近似服从正态分布，即有
,今
.
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所求概率
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即不大可能在8小时内完成全部工作.
4． (1)已知某种能力测试的得分服从正态分布率密度，并求这10个人得分的平均值小于的概率.
(2)在(1)中设
，若得分超过70就能得奖，求至少有一人得奖的概率.
.它们的联合概率密度为
， ，
.
(2)若一人得奖的概率为p，则得奖人数Y～b(10，p).此处p是随机选取一人，其考分X在70分以上的概率.因X～N(62，25)，故
至少一人得奖的概率为
5． 某单位研究两种不同制剂治疗钩虫的效果，用大白鼠做试验.11头大白鼠随机分配于三组，包括两个不同制剂的实验组和一个对照组.方法是：实验前每鼠人工感染500条钩蚴，感染后第8天实验组分别给以甲、乙两种制剂，对照组不给药，第10天全部解剖检查各鼠体内活虫数，数据见下表。
【答案】(1)10个人的得分分别记为
，随机取10个人参与这一测试.求他们得分的联合概
表——体内活虫数
问：(1)该试验设计上是否存在问题？
(2)该试验使用独立样本t检验，其统计结论为：甲组制剂组与对照组之间有显著差异，乙组制剂组与对照组之间有显著差异，甲组制剂组与乙组制剂组之间没有显著差异，请判断该统计分析方法是否正确？为什么？
(3)请给出该试验适用类型。
【答案】(1)存在的主要问题是：每组大鼠个数过少，远远低于要求。 (2)不正确。因为两个以上正态总体均值的比较不宜用t检验。 这是因为对于3组之间的两两比较，共比较
次，每次比较犯第一类错误的概率为(不妨假设
故不宜用t检验.
(3)本题试验考察一个因素A，即“不同制剂”，该单因素分为3个水平。记为
，定量的观察
=0.05)，比较3次，至少有一次犯第一类错误的概率为
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