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第5章 连续时间信号的抽样与量化
5.1 试证明时域抽样定理。
证明： 设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为
?T(t)?n?????(t?nT)
s?由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为：
Fs(?)?1?F(?)??T(?)? 2?1 ?Tsn????F????n???
s?式中F(?)为原信号f(t)的频谱，?T(?)为单位冲激序列?T(t)的频谱。可知抽样后信号的频谱Fs(?)由F(?)以 ?s为周期进行周期延拓后再与1Ts相乘而得到，这意味着如果
?s?2?m，抽样后的信号fs(t)就包含了信号f(t)的全部信息。如果?s?2?m，即抽样
间隔Ts?1，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建2fm1，f(t)才能由fs(t)完全恢复，这就证明了抽样定理。 2fm原信号。 因此必须要求满足Ts?5.2 确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔： （1）Sa(50t)
（2）Sa(100t)
（4）Sa(100t)?Sa(60t)
22（3） Sa(50t)?Sa(100t)
解：抽样的最大间隔Ts?12fm称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率fs?2fm称为奈奎斯特速率，最低采样频率?s?2?m称为奈奎斯特频率。 （1）Sa(50t)??50[u(??50)?u(??50)]，由此知?m?50rad/s，则fm?50，奈奎斯特间隔Ts?25?，
由抽样定理得：最低抽样频率fs?2fm??1??。 fs50（2）Sa(100t)?2?100(1?) 200100?脉宽为400，由此可得?m?200rad/s，则fm??，由抽样定理得最低抽样频率
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fs?2fm?200?，奈奎斯特间隔Ts?1?。 ?fs200（3）Sa(50t)??50[u(??50)?u(??50)]，该信号频谱的?m?50rad/s
Sa(100t)??100[u(??100)?u(??100)],该信号频谱的?m?100rad/s
50Sa(50t)?Sa(100t)信号频谱的?m?100rad/s,则fm?抽样频率fs?2fm?（4）Sa(100t)??，由抽样定理得最低
100?，奈奎斯特间隔Ts?1?。 ?fs100?100[u(??100)?u(??100)],该信号频谱的?m?100
Sa2(60t)??60(1?)，该信号频谱的?m?120rad/s 12060?所以Sa(100t)?Sa2(60t)频谱的?m?120rad/s, 则fm?低抽样频率fs?2fm??，由抽样定理得最
120?，奈奎斯特间隔Ts?1?。 ?fs1205.3 系统如题图5.3所示，f1(t)?Sa(1000?t)，f2(t)?Sa(2000?t)，
p(t)?n?????(t?nT)，f(t)?f(t)f1?2(t)，fs(t)?f(t)p(t)。
（1）为从fs(t)中无失真地恢复f(t)，求最大采样间隔Tmax。
（2）当T?Tmax时，画出fs(t)的幅度谱Fs(?)。
f1(t) 时域相乘 f(t) 时域抽样 fs(t) f2(t) 题图 5.3
解：
（1）先求f(t)的频谱F(j?)。
p(t)
f1(t)?Sa(1000?t)?F1(j?)?1[u(??1000?)?u(??1000?)] 1000 技术资料 专业整理
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f2(t)?Sa(2000?t)?F2(j?)?1[u(??2000?)?u(??2000?)] 2000F(j?)??1F1(j?)?F2(j?)2?111[(u(??1000?)?u(??1000?))?(u(??2000?)?u(??2000?)]2?100020001??10?6?{(??3000?)[u(??3000?)?u(??1000?)]4??2000?[u(??1000?)?u(??1000?)]?(???3000?)[u(??1000?)?u(??3000?)]}
由此知F(j?)的频谱宽度为6000?，且?m?3000?的最大允许间隔Tmax??rad/s，则fm?1500Hz，抽样
11?s 2fm3000（2）p(t)?n?????(t?nT)，所以为用冲激序列对连续时间信号为f(t)进行采样，设原输
入信号f(t)的频谱密度为F(?)，而单位冲激序列的频谱密度为：
2?p(?)?Tn?????(??n?s) 其中
??s?2? T则根据频域卷积定理得抽样信号fs(t)的频谱为：
11?Fs(?)?[F(?)*p(?)]??F(??n?s)
2?Tn???而T?Tmax，则?s?
5.4 对信号f(t)?eu(t)进行抽样，为什么一定会产生频率混叠效应？画出其抽样信号的频谱。
解： 由第三章知识知，该单边指数信号的频谱为：
?t2??3000?2??6000?Tmaxrad/s，幅度谱如下图所表示。
F(j?)?其幅度频谱和相位频谱分别为
1
1?j? 技术资料 专业整理
信号及系统第5章习题答案解析
