解题技巧专题：圆中辅助线的作法
——形成思维模式，快速解题
◆类型一 遇弦添加弦心距或半径
1．如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB于点E.若AB＝24，OE＝5，则⊙O的半径为( )
A．15 B．13 C．12 D．10
第1题图 第2题图
2．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”(单位：cm)，那么该光盘的直径是________cm.
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，⊙O的半径为4，求AC的长．
◆类型二 遇直径添加直径所对的圆周角 4．如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2的度数为( ) A．30° B．45° C．60° D．70°
第4题图 第5题图
5．如图，BC为半圆O的直径，A，D为半圆上两点，AB＝3，BC＝2，则∠D的度数为________度．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E. (1)求证：BE＝CE；
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︵
(2)若∠B＝70°，求DE的度数； (3)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
◆类型三 遇切线连接圆心和切点
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P＝40°，则∠D的度数为________．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，求DM的长．
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参考答案与解析 1．B 2.10
3．解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D.∵OA＝OC，OD⊥AC，∴∠AOD＝1
∠COD＝∠AOC.又∵∠AOC＝2∠B，∴∠COD＝∠B＝60°.在Rt△COD中，OC＝4，∠COD
2＝60°，∴CD＝OC·sin∠COD＝23，∴AC＝2CD＝43.
4．C 5.150 6．(1)证明：连接AE.∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥BC.∵AB＝AC，∴BE＝CE.
(2)解：连接OD，OE.在Rt△ABE中，∠BAE＝90°－∠B＝90°－70°＝20°，∴∠DOE＝︵2∠DAE＝40°，∴DE的度数为40°.
(3)解：连接CD.由(1)可知BE＝CE，∴BC＝2BE＝6.设AB＝AC＝x，则AD＝AB－BD＝x－2.∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝62－22＝32.在Rt△ADC中，AD2＋CD2＝AC2，即(x－2)2＋32＝x2，解得x＝9，即AC的长为9.
7．115°
8．解：连接OE，OF，ON，OG.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4.∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，OE＝OF＝OG，∴四边形AFOE，FBGO是正方形，∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，∴DE＝3.∵DM是⊙O的切线，∴DN＝DE＝3，MN＝MG，∴CM＝BC－BG－MG＝5－2－MN4
＝3－MN.在Rt△DMC中，DM2＝CD2＋CM2，∴(3＋MN)2＝42＋(3－MN)2，∴MN＝，∴DM
3413＝3＋＝. 33
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中考数学 解题技巧专题：圆中辅助线的作法
