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《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解
解
111abc222
第一章 行列式
1? 利用对角线法则计算下列三阶行列式?
201 (1)?11?84?31?
2 解?11?0
84?131 ?2?(?4)?3?0?(?1)?(?1)?1?1?8 ?0?1?3?2?(?1)?8?1?(?4)?(?1) ??24?8?16?4??4?
abbc (2)ccaab?
a 解 bbccc
aab ?acb?bac?cba?bbb?aaa?ccc ?3abc?a3?b3?c3?
111 (3)aa2bb2cc2?
abc ?bc2?ca2?ab2?ac2?ba2?cb2 ?(a?b)(b?c)(c?a)?
xyx?y (4)x?yyx?xyx?
yx 解
?yyx?yxyx?xy xy ?x(x?y)y?yx(x?y)?(x?y)yx?y3?(x?y)3?x3 ?3xy(x?y)?y3?3x2 y?x3?y3?x3 ??2(x3?y3)?
2? 按自然数从小到大为标准次序? 求下列各排列的逆序数? (1)1 2 3 4? 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2?
解 逆序数为4? 41? 43? 42? 32? (3)3 4 2 1?
解 逆序数为5? 3 2? 3 1? 4 2? 4 1, 2 1? (4)2 4 1 3?
解 逆序数为3? 2 1? 4 1? 4 3? (5)1 3 ? ? ? (2n?1) 2 4 ? ? ? (2n)? 解 逆序数为n(n?1)2? 3 2 (1个)
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5 2? 5 4(2个) 7 2? 7 4? 7 6(3个) ? ? ? ? ? ?
(2n?1)2? (2n?1)4? (2n?1)6? ? ? ?? (2n?1)(2n?2) (n?1个) (6)1 3 ? ? ? (2n?1) (2n) (2n?2) ? ? ? 2? 解 逆序数为n(n?1) ? 3 2(1个) 5 2? 5 4 (2个) ? ? ? ? ? ?
(2n?1)2? (2n?1)4? (2n?1)6? ? ? ?? (2n?1)(2n?2) (n?1个) 4 2(1个) 6 2? 6 4(2个) ? ? ? ? ? ?
(2n)2? (2n)4? (2n)6? ? ? ?? (2n)(2n?2) (n?1个) 3? 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项? 解 含因子a11a23的项的一般形式为
(?1)ta11a23a3ra4s?
其中rs是2和4构成的排列? 这种排列共有两个? 即24和42? 所以含因子a11a23的项分别是
(?1)ta11a23a32a44?(?1)1a11a23a32a44??a11a23a32a44? (?1)ta11a23a34a42?(?1)2a11a23a34a42?a11a23a34a42? 4? 计算下列各行列式?
解
412412021052001174?1?10?122?(?1)4?3 103?14c2?c341??????10c4?7c30?12302021?102?1404?110c2?c39910 ?12?2??????00?2?0?
10314c1?12c317171423 (2)151?120423611? 221c4?c221?????321521?12042301?12042360r4?r222?????3102223151?12042361?121423402 00r4?r123?????1002?0? 0041 (1)100 解
1251202142? 07?abacae (3)bd?cddebfcf?ef?
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解
?abacae?bcebd?cdde?adfb?ce bfcf?efbc?eax?byay?bzaz?bxxyz33 (2)ay?bzaz?bxax?by?(a?b)yzx;
az?bxax?byay?bzzxy 证明
?111 ?adfbce1?11?4abcdef?
11?1a?1 (4)00 解
1b?1001c?100? 1dxyz33 ?(a?b)yzx?
zxya2b2 (3)2cd2 证明
a?1001b?1001c?10r1?ar201?ab0??????1b10?1d00a1c?100 1d(a?1)2(b?1)2(c?1)2(d?1)2(a?2)2(b?2)2(c?2)2(d?2)2(a?3)2(b?3)2?0;
(c?3)2(d?3)2(a?3)2(b?3)2(c?3)2(d?3)2
5? 证明:
abad?(?1)(?1)3?21??11?cd?abcd?ab?cd?ad?1?
a2abb2 (1)2aa?b2b?(a?b);
1113
a2b2c2d2(a?1)2(b?1)2(c?1)2(d?1)2(a?2)2(b?2)2(c?2)2(d?2)2(c4?c3? c3?c2? c2?c1得)
证明
222ab?ab?aab?a?(a?b)3 ?
?(b?a)(b?a)1?(?1)2b?a2b?2a3?1a22b ?2cd2a22b ?2cd22a?12b?12c?12d?12a?12b?12c?12d?12a?32b?32c?32d?322222a?52b?5(c?c? c?c得) 2c?52d?54
3
3
2
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