※精品试卷※
第4课时 椭圆的简单几何性质
基础达标(水平一 )
1.已知椭圆+=1的焦距为4,则m等于( ).
A.4 B.8
C.4或8 D.以上均不对 【解析】①当椭圆的焦点在x轴上时,10-m-(m-2)=4,解得m=4;②当椭圆的焦点在y轴上时,m-2-(10-m)=4,解得m=8.故选C.
【答案】C
2.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,以线段F1F2为边作正△MF1F2,若边MF1的中点在此椭圆上,则此椭圆的离心率为( ).
A. B.-1 C. D.-1
【解析】如图,由题意知△F1PF2为直角三角形, ∠PF2F1=30°,
又|F1F2|=2c,所以|PF1|=c,|PF2|=所以2a=|PF1|+|PF2|=(1+)c,
c,
所以===-1.
【答案】D
3.若将一个椭圆绕中心旋转90°,所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中,是“对偶椭圆”的方程的是( ).
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【解析】由题意,当b=c时,将一个椭圆绕中心旋转90°,所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,即该椭圆为“对偶椭圆”.只有选项A中的b=c=2符合题意.
【答案】A
4.设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( ).
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A. B. C.2- D.-1
【解析】设椭圆焦点在x轴上,点P在x轴上方,则其坐标为,因为△F1PF2为等腰直角三角形,所以
|PF2|=|F1F2|,即=2c,即b2=2ac,a2-c2=2ac,等式两边同除以a2,化简得1-e2=2e,解得e=-1,故选D.
【答案】D
22
5.经过点(2,-3)且与椭圆9x+4y=36有共同焦点的椭圆方程为 .
【解析】椭圆9x+4y=36可化为则它的两个焦点分别为(0,-22
+),(0,
=1,
).
设所求椭圆的方程为又该椭圆过点(2,-3),
+=1(λ>0).
所以+=1,解得λ=10或λ=-2(舍去).
所以所求椭圆的方程为+=1.
【答案】+=1
6.椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B,左、右焦点分别是F1、F2.若|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列,则该椭圆的离心率为 .
【解析】∵A、B分别为左、右顶点,F1、F2分别为左、右焦点,∴|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c.又由|AF1|、|F1F2|、
|F1B|成等比数列,得(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2,∴离心率e=.
【答案】
7.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率e=,连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4(1)求椭圆C的标准方程; (2)设A,B是直线l:x=2
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.
上不同的两点,若·=0,求|AB|的最小值.
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【解析】(1)由题意得
解得
所以椭圆C的标准方程为(2)由(1)知,点F1(-+,0),F2(
=1.
,0),设直线l:x=2
上不同的两点A,B的坐标分别为
A(2,y1),B(2,y2),则=(-3,-y1),=(-,-y2),由·=0得y1y2+6=0,
即y2=-小值是2
,不妨设y1>0,则|AB|=|y1-y2|=y1+≥2,当y1=,y2=-时取等号,所以|AB|的最
.
拓展提升(水平二)
8.设F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左,右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( ).
A. B. C. D.
【解析】
设直线x=与x轴交于点M,则∠PF2M=60°,在Rt△PF2M中,|PF2|=|F1F2|=2c,|F2M|=-c,故cos
60°===,解得=,故离心率e=.
【答案】C
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9.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A、B1、B2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的右、下、上顶点,F是椭圆C的右焦点.若B2F⊥AB1,则椭圆C的离心率是 .
【解析】由题意得-·
=-1?b2=ac?a2-c2=ac?1-e2=e,又0 【答案】 10.已知曲线C上有一动点M(x,y),向量a=(x+2,y)和b=(x-2,y)满足|a|+|b|=6,则曲线C的离心率是 . 【解析】因为|a|+|b|=6表示动点M(x,y)到点(-2,0)和(2,0)的距离之和为6,所以曲线C是椭圆,且长轴长2a=6, 即a=3,又c=2,所以e=. 【答案】 11.已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F2(3,0),离心率为e. (1)若e=,求椭圆的方程. (2)设直线y=kx与椭圆相交于A,B两点,M,N分别为线段AF2,BF2的中点.若坐标原点O在以MN为直径的圆上,且 【解析】(1)由题意得又a=b+c,解得b=3, 2 2 2 2 解得a=2, 所以椭圆的方程为+=1. (2)联立得(b+ak)x-ab=0. 222222 设点A(x1,y1),B(x2,y2), 所以x1+x2=0,x1x2=. 依题意,OM⊥ON, 易知,四边形OMF2N为平行四边形, 所以四边形OMF2N为矩形,所以AF2⊥BF2, 因为 推 荐 下 载 =(x1-3,y1),=(x2-3,y2), ※精品试卷※ 所以· =(x1-3)(x2-3)+y1y2=(1+k2)x1x2+9=0,即 +9=0, 整理得 k=2 =-1-. 又因为 2 所以k2 ≥ 推 荐 下 载 ,即k∈∪.
精品四川省成都市高中数学 第二章 第4课时 椭圆的简单几何性质同步测试 新人教A版选修2-1
