概率论与数理统计习题详解

由天下分享时间：2024/10/23 5:47:46 加入收藏我要投稿点赞

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一、第三章习题详解：

?1?2?x?2?y?2?x?y,x?0,y?0,3.1设二维随机向量(X,Y)的分布函数为:F(x,y)??

其他?0,求P1?X?2,3?Y?5解：因为 F(2,5)?1?2??.

?2?2?5?2?7，F(1,5)?1?2?1?2?5?2?6

F(2,3)?1?2?2?2?3?2?5，F(1,3)?1?2?1?2?3?2?4

所以 P(1?X?2,3?Y?5)?F(2,5)?F(1,5)?F(2,3)?F(1,3)

3.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X表示取到的黑球的个数, 用Y表示取

到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布.

解：因为X + Y = 4，所以(X,Y)的可能取值为(2,2),(3,1)

2C32C23且 P(X?2,Y?1)?0，P(X?2,Y?2)???0.6 45C531C3C22 P(X?3,Y?1)???0.4，P(X?3,Y?2)?0

5C54故(X,Y)的概率分布为 X\\Y 2 3 1 0 0.4 2 0.6 0 3.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X表示在3次中出现正面的次数, 用Y表示3次中出

现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X , Y ) 的概率分布. 解：因为Y?|X?(3?X)|?|2X?3|，又X的可能取值为0,1,2,3 所以(X,Y)的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3)

1311112，P(X?1,Y?1)?C3()()? 8228313121211 P(X?2,Y?1)?C3()()?，P(X?3,Y?3)?()?

22828且 P(X?0,Y?3)?()?312故(X,Y)的概率分布为

X\\Y 0 1 2 3 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 3.4设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为:

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?a(6?x?y),0?x?1,0?y?2, f(x,y)??其他?0,(1) 确定常数a;

(2) 求PX?0.5,Y?1.5??

(3) 求P{(X,Y)?D},这里D是由x?0,y?0,x?y?1这三条直线所围成的三角形区域. 解：(1)因为由

??????????f(x,y)dxdy??1200?a(6?x?y)dxdy

??????????f(x,y)dxdy?1，得9a=1，故a=1/9.

(2) P(X?0.5,Y?1.5)?(3) P{(X,Y)?D}???00.51.501(6?x?y)dxdy 911?x00??Df(x,y)dxdy??dx?1(6?x?y)dy 9?2e?(2x?y),3.5 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为:f(x,y)???0,(1) 求分布函数F(x,y); (2) 求PY?X?

解：(1) 求分布函数F(x,y); 当x?0,y?0，

x?0,y?0,其他

?F(x,y)??y?????xf(u,v)dudv??y0?x02e?(2u?v)dudv?2?e?2udu?e?vdv?(1?e?2x)(1?e?y)

00xy其他情形，由于f(x,y)=0，显然有F(x,y)=0。综合起来，有 (2) 求PY?X?

3.6 向一个无限平面靶射击, 设命中点(X,Y)的概率密度函数为求命中点与靶心(坐标原点) 的距离不超过a 的概率. 解：P(X?Y?a)?222?x2?y2?a2??1?(1?x2?y2)dxdy??d??202?a0rdr 22?(1?r)3.7设二维随机向量(X,Y)的概率分布如下表所示, 求X 和Y 的边缘概率分布.

X\\Y 1 3 0 0.15 0.05 2 0.25 0.18 5 0.35 0.02 解：因为 P(X?1)?0.15?0.25?0.35?0.75

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所以，X的边缘分布为

X P 1 0.75 3 0.25 因为 P(Y?0)?0.15?0.05?0.20 所以，Y的边缘分布为

Y P 0 0.20 2 0.43 5 0.37 3.8 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为求边缘概率密度fX(x),fY(y). 解：因为，当0?x?2时，fX(x)??????31xf(x,y)dy??xy2dy?xy3?；其他情形，

0222011显然fX(x)?0.所以，X的边缘分布密度为又因为，当0?y?1时，fY(y)??????f(x,y)dx??20323xydx?x2y2242?3y2

0其他情形，显然fY(y)?0.所以，Y的边缘分布密度为 3.9 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为求边缘概率密度fX(x),fY(y).

解，积分区域显然为三角形区域，当0?x?1时，0?y?x，因此

fX(x)??????f(x,y)dy??4.8y(2?x)dy?2.4(2?x)y2?2.4(2?x)x2；

00xx其他情形，显然fX(x)?0.所以，X的边缘分布密度为同理，当0?y?1时，y?x?1,因此

fY(y)??????f(x,y)dx??4.8y(2?x)dx?2.4y(4x?x)?2.4y(3?4y?y2)

yy121其他情形，显然fY(y)?0.所以，Y的边缘分布密度为 3.10 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为

(1)确定常数c的值. (2)求边缘概率密度fX(x),fY(y). 解：(1)因为

??????????f(x,y)dxdy??dx?2cdy

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所以 c = 6.

(2) 因为，当0?x?1时，fX(x)?所以，X的边缘分布密度为

又因为，当0?y?1时，fY(y)??????f(x,y)dy??2cdy?6(x?x2)

xx?????f(x,y)dx??6dx?6(y?y)

yy所以，Y的边缘分布密度为

3.11 求习题3.7 中的条件概率分布. 解：由T3.7知，X、Y的边缘分布分别是

X P 1 0.75 3 0.25

Y P 0 0.20 2 0.43 5 0.37 (1)当X=1时，Y的条件分布为即

Y P (2)当X=3时，Y的条件分布为即

Y P (3)当Y=0时，X的条件分布为即

X P (4)当Y=2时，X的条件分布为即

X P (5)当Y=5时，X的条件分布为即

X P 1 0.946 3 0.054 1 0.581 3 0.419 1 3/4 3 1/4 0 1/5 2 18/25 5 2/25 0 1/5 2 1/3 5 7/15 3.12 设 X 在区间(0,1) 上随机地取值, 当观察到X = x(0 < x < 1) 时, Y 在区间(x,1) 上随机地取值, 求 Y 的概率密度函数.

?1?10?x?1?解：因为 fX(x)??， fY|X(y|x)??1?x其他?0??0所以(X,Y)的联合密度为于是 fY(y)?x?y?1其他

?????f(x,y)dx??y011dx??ln(1?y)?ln (0?y?1) 1?x1?y故Y的密度函数为

3.13 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为

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求条件概率密度fXY(xy),fYX(yx),以及P{Y?11X?}. 222xy22)dy?2x?x ???033??1xy1y2又当0?y?2时，fY(y)??f(x,y)dx??(x?)dx??

??0336解：因为，当0?x?1时，fX(x)???f(x,y)dy??(x2?所以，在Y=y的条件下X的条件概率密度为

在X=x的条件下Y的条件概率密度为

3.14 问习题3.7 中的X 与Y 是否相互独立？解: 由T3.7知，X、Y的边缘分布分别是

X P 1 0.75 3 0.25

Y P 0 0.20 2 0.43 5 0.37 P{X?1}?0.75, P{Y?2}?0.43,而P{X?1,Y?2}?0.25,显然 P{X?1}?P{Y?2}?P{X?1,Y?2}?0.25,从而X 与Y 不相互独立.

3.15设二维随机向量(X,Y)的概率分布如下表所示, 求X 和Y 的边缘概率分布.