关于Cauchy型积分与Fourier积分的研究*
李平润
【摘 要】摘要：利用复分析中推广的Cauchy留数定理与奇异积分方程中的Plemelj公式，首次给出了Cauchy型积分与Fourier积分之间的关系，并得出了单侧的Fourier积分的性质，然后给予证明. 【期刊名称】曲阜师范大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2014(000)001 【总页数】3
【关键词】Cauchy型积分；Fourier积分；Plemelj公式；推广的留数定理 【文献来源】https://www.zhangqiaokeyan.com/academic-journal-cn_journal-qufu-normal-university-natural-science_thesis/0201250421066.html
关于Cauchy型积分与Fourier积分已分别在文献[1-3]中进行了系统的研究，但它们之间的联系在现有的文献中涉及的很少．本文利用复变函数论中推广的Cauchy留数理论[4]与Plemelj公式[5]，把这两类积分有机地联系起来，首次给出了它们之间的相互关系，并就得出的一些性质给予证明，从而在本文推广了这两类积分．通过这两类积分之间的联系也可以处理其他学科的一些问题及其实际应用问题.
1 定 义
定义1.1 设f(t)为定义在(-∞，+∞)上的复函数，则称，z?(-∞，∞)，是以f(t)为核密度的Cauchy型积分，只要此积分存在.
定义1.2 函数F(x)称为属于{{0}}类，如果满足：(1)F(x)∈∈L2(-∞，+∞).关于与L2(-∞，+∞)的意义可参阅文献[6，7].
定义1.3 函数f(t)称为属于{0}类，如果它的Fourier积分
属于{{0}}类，其中函数f(t)的Fourier变换可表示为F(x)=Vf(t). 而f(t)的Fourier逆变换定义为 ，
要求上述两个积分皆存在. 显然有V-1f=F(-x).
定义1.4 设f(t)∈{0}类，那么积分与分别称为关于F(t)的左右单侧Fourier积分.
2 主要结果及证明
本文首次给出这两类积分之间的联系．
定理2.1 关于Cauchy积分与Fourier积分有如下关系： (1)当Imz>0时，ξ (2)当Imz<0时，ξ
(3)当Imz=0时，ξ，其中sgn是符号算子. 证明 由于 (2.1)
设ξ，则由复分析中推广的Cauchy留数定理[8]，有 当t>0时，则有 当t<0时，有 因此
当Imz>0时，(2.1)式右边的第一项为0，而第二项为 当Imz<0时，(2.1)式右边的第二项为0，而第一项为 当Imz=0时，记ξ，则由Plemelj公式，有 ，， 因此
由已证得的结果(1)与(2)知 ，， 所以 ξ .
定理2.2 设f(t)∈{0}类，则定义1.4的左右单侧Fourier积分分别在Imz>0与Imz<0内解析. 证明 当Imz>0时， ξ.
由于f(t)∈{0}类，则F(x)∈{{0}}类(也即L2(-∞，∞)∩类).由Cauchy型积分的性质[1]，以及定理2.1的结果知，ξ在Imz>0内解析，从而F+(z)在Imz>0内解析.
同理可证，F-(z)在Imz<0内解析．
在文献[1]中讨论了Cauchy型积分的Plemelj公式，这里我们首次得出了Fourier积分的Plemelj公式.
下面给出关于Fourier积分的Plemelj公式.
定理2.3 设f(t)∈{0}类，F(z)是f(t)的Fourier积分，则Fourier积分的Plemelj公式为 .
定理2.4 设f(t)属于函数类{0}，则对算子V，V-1有如下一对等式成立： ξ，ξ]=f(t)sgnt. 证明 由于
ξξξ，
由文献[9，10]，有 ξ，ξ， 因此 ξ， 并显然有 ξ]=f(t)sgnt. 参考文献：
[1] 路见可，钟寿国. 积分方程论组[M]. 北京：高等教育出版社，1990． [2] 路见可．解析函数边值问题[M].第2版.武汉：武汉大学出版社，2004． [3] Lu Jianke. On methods of solution for some kinds of singular integral with convolution[J].Chin Ann of Math，1989，8B(1)：97-108．
[4] 李平润.具有Hilbert核非正则型奇异积分方程的直接解法[J].喀什师范学院学报，2006，27(6)：4-6．
[5] 李平润.具周期性的含卷积核与余割核混合的积分方程[J].系统科学与数学，2010，30(8)，1148-1155．
[6] Li Pingrun. On the method of solving two kinds of convolution singular integral equations with reflection[J]. Annals of Differential Equation，2013，(2)：159-166．
[7] 杜金元，路见可.一类带平移的奇异积分方程[J].数学年刊，1990，11(1)，105-117．
[8] 李平润. 一类含卷积核与Cauchy核的奇异积分微分方程的非正则型解法[J].
系统科学与数学[录用]．
[9] 李平润. 含有调和奇异算子的卷积型方程组的解法[J]. 系统科学与数学，2013，33(7)：854-861．
[10] 许永甲. 开口曲线上奇异积分算子的一些性质[J]，中国科学A辑：数学，2007，37(2)：229-248．
基金项目：曲阜师范大学校青年基金(XJ201218)．
【文献来源】https://www.zhangqiaokeyan.com/academic-journal-cn_journal-qufu-normal-university-natural-science_thesis/0201250421066.html
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