2024-2024年中考数学压轴题专项汇编专题17一线三等角模型
破解策略
在直线AB上有一点P，以A，B，P为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB上，另一条边在AB同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C，D．
1．当点P在线段AB上，且∠3两边在AB同侧时． （1）如图，若∠1为直角，则有△ACP∽△BPD．
DC1A3P2B
（2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP∽△BPD．
CD3APB
证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CPA，∠C＝180°－∠1－∠CPA，而∠1＝∠3 ∴∠C＝∠DPB，
∵∠1＝∠2，∴△ACP∽△BPD
（3）如图，若∠1为钝角，则有△ACP∽△BPD．
C1A3P2BD
2．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB同侧时． 如图，则有△ACP∽△BPD．
C3BPA12D
证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CPA，∠C＝180°－∠1－∠CPA，而∠1＝∠3 ∴∠C＝∠DPB，
∵∠1＝∠2＝∠PBD，∴△ACP∽△BPD
3．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB异侧时． 如图，则有△ACP∽△BPD．
CP3A12BD
证明：∵∠C＝∠1－∠CPB，∠BPD＝∠3－∠CPB，而∠1＝∠3 ∴∠C＝∠BPD．
∵∠1＝∠2，∴∠PAC＝∠DBP．∴△ACP∽△BPD． 例题讲解
例1：已知：∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与点A，B重合）．DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N．记△ADM的面积为S1，△BND的面积为S2．
（1）如图1，当△ABC是等边三角形，∠EDF＝∠A时，若AB＝6，AD＝4，求S1S2的值； （2）当△ABC是等腰三角形时，设∠B＝∠A＝∠EDF＝α．
①如图2，当点D在线段AB上运动时，设AD＝a，BD＝b，求S1S2的表达式（结果用a，b和a的三角函数表示）．
②如图3，当点D在BA的延长线上运动时，设AD＝a，BD＝b，直接写出S1S2的表达式．
CCNEAMDBAFEMDCMANFBEBDNF
图1 图2 图3 解：（1）如图4，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H．
CNEAGMHDBF
则S1S2＝
1MG2AD1NH2BD＝
1AD4AMsinABDBNsinB．
3． 2由题意可知∠A＝∠B＝60o，所以sinA＝sinB＝由“一线三等角模型”可知△AMD∽△BDN． ∴
AMAD，从而AM?BDBNBN＝ADBD＝8，∴S1S2＝12．
（2）①如图5，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H．
CEMANHFBGD
111则S1S2＝MGADNHBD＝ADAMsinA224由“一线三等角模型”可得△AMD∽△BDN， 所以
AMAD，从而AMBN＝ADBD＝ab， ?BDBN1a2b2sin2a； 4BDBNsinB．
所以S1S2＝
②如图6，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H．
CMADGEBHNF
则S1S2＝
1MG2AD1NH2BD＝
1AD4AMsinABDBNsinB．
由“一线三等角模型”可得△AMD∽△BDN， 所以
AMAD，从而AMBN＝ADBD＝ab， ?BDBN1a2b2sin2a； 4所以S1S2＝
例2：如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝30°．
（1）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围； （2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
AEBDC
解（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝120°， ∴∠ABD＝∠ACB＝30°， ∴∠ABD＝∠ADE＝30°，
∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠ABD＋∠DAB，
∴∠EDC＝∠DAB， ∴△ABD∽△DCE；
∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°， 过A作AF⊥BC于F， ∴∠AFB＝90°，
∵AB＝2，∠ABF＝30°， ∴AF＝
1AB＝1， 2∴BF＝3， ∴BC＝2BF＝23， 则DC＝23?x，EC＝2－y ∵△ABD∽△DCE， ∴
ABDC， ?BDCE223?x， ?x2?y∴
化简得：y?12x?3x?20?x?23． 2??AEBCD
（2）①当AD＝DE时，如图2， △ABD≌△DCE，
则AB＝CD，即2＝23?x，
x＝23?2，代入y?x2?3x?2
解得：y＝4?23，即AE＝4?23， ②当AE＝ED时，如图，
∠EAD＝∠EDA＝30°，∠AED＝120°， 所以∠DEC＝60°，∠EDC ＝90°
1211 EC，即y＝ （2－y） 2222解得y＝，即AE＝；
33则ED＝
③当AD＝AE时，有∠AED－∠EDA＝30°，∠EAD＝120°
此时点D和点B重合，与题目不符，此情况不存在． 所以当△是ADE等腰三角形时，AE＝4－23或AE＝
2 3AEBDC
进阶训练
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在BC边上移动（不与点B，C重台）．满足
∠DEF＝∠B，且点D，F．分别在边AB，AC上．当点E移动到BC的中点时，求证：FE平 分∠DFC．
ADFBEC
1．略
【提示】由题意可得∠B＝∠DEF＝∠C．由“一线三等 角模型”可得△BDE∽△CEF，可得所以
BEDE＝．而BE＝CE· CFEFCEDE＝，从而△DEF∽ECF．所以∠DEF＝∠EFC，即FE平分∠DFC． CFEF
2． 如图，在等边△ABC中，点D，E分别在AB，BC边上，AD＝2BE＝6．将DE绕点 E顺时针旋转60°，得到EF．取EF的中点G，连结AG．延长CF交AG于点H．若2AH ＝5HG，求BD的长．
ADHGBEFC
2．BD＝9． 【提示】如图，过点F作FI∥AC 交BC于点I．则∠FIE＝∠ACB＝∠ABC．易证△DBE≌△E IF，则IF ＝BE ，IE＝BD，所以BC＋BE＝AD，即IC＝BE＝IF，则∠ACH＝ ∠BCH＝30°．延长CH变AB于点J，则CJ⊥AB，．A＝ BJ
分别过点G，E作AB的垂线段，垂足为K，L，·则KL＝KJ·
AH5AJ＝＝，所以AJ：HG2JKJK：KL：BL＝5：2：2：l．因为BE＝3，∠LEB＝ 30°，所以BL＝1．5．AB＝15．所以BD＝9．
ADJKLBEHGFIC
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