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9.3.5 计算和证明题
9.3.5.1 已知机械系统如图9-7所示，m1,m2为质量块，m1受外力F(t)作用。弹簧的弹性系数如图示，如不计摩擦，自选一定数目的状态变量，建立系统的状态空间描述。
y(t)F(t)m1k1m2k2图9-7 题9.3.5.1图
提示：设中间变量质量块m1的位移为z，根据牛顿定律有
? ① F(t)?k1(z?y)?m1?z 同理对质量块m2有
? ② k1(z?y)?k2y?m2?y设状态变量
??x?3 ?1 x3?y x4?y??x x1?z x2?z?2?????z由式① x?4????y由式② xk1kF(t)x1?1x3? m1m1m1k1k?k2x1?1x3 m2m2因此有
AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF
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?0?x?1??k1??x?2??m1 ?????x?3??0???k1?4??x??m210k10m100k?k20?1m20?0??x1???x1??10??????x?x??2?????m1?F(t) y??0010??2? 1??x3??x3?0??????0??x4??0??x4?????9.3.5.2 已知系统结构图如图9-8所示。试写出系统的状态方程和输出方程（要求写成矢量形式）。
u1x21x1?ys?1s?22图 9-8 题9.3.5.2图AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF
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??21??0????xx?u???提示：??21??1? y??10?x9.3.5.3 已知系统的微分方程，试建立其相应的状态空间描述，并画出相应的状态结构图。
???5???7y??3y?u???6u??8u （1）?yy???5???7y??3y?????3u??2u （2）?yyu10??0?0??x??0?u???0x01????????3?7?5???1??y??861?x提示：（1） ，状态结构图略 （2）
10??0?0??x??0?u???0x01????，状态结构图略。
????3?7?5???1??y???1?4?5?x?u9.3.5.4判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。
00??1???（1）Φ(t)??0sintcost? （2）Φ(t)??1?0???0?costsint??1?(1?e?2t)? 2?e?2t?提示：（1）不是状态转移矩阵，因为Φ(0)?I。
?(t)?? （2）是。A?Φ?t?0?09.3.5.5 线性系统x???1? ??0?2?00??1??0?，x(0)?x?u?1?，在单位阶跃输入时系统的??1?01??????AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF
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响应x(t)。 提示：Φ(t)???0?，x(t)?t??0e?1?10??1?t?10??0??1???1(?)d???0et??1??0?0et????1??2et?1?
???????????01??0????xx?u???9.3.5.6 已知状态空间描述为?0?2??1?，试求： y??20?x（1）根据状态空间描述画出系统状态结构图； （2）判断系统的能控性和能观测性； （3）求系统的传递函数； （4）求系统状态转移矩阵； （5）求该系统的特征方程。
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2 s(s?2)提示：（1）状态结构图略（2）能控且能观测 （3） G(s)?c(sI?A)?1b??（4）Φ(t)??1?0?1?(1?e?2t)? （5）sI?A?s2?2s?0 2?e?2t??s?a 32s?10s?27s?189.3.5.7线性系统的传递函数为Y(s)U(s)（1）试确定a的取值，使系统为不能控，或成为不能观测的。 （2）在上述a的取值下，求使系统为能控的状态空间描述。 （3）在上述a的取值下，求使系统为能观测的状态空间描述。 提示：（1）Y(s)U(s)?s?as?a?，当传递函数出现零
s3?10s2?27s?18(s?1)(s?3)(s?6)极点对消时，系统的状态有可能是不能控或不能观测的，即a?1,3,6。
（2）当a?1,3,6时，能控的状态空间描述（能控I型）：
?1??010??x1??0??x?x??x???0?u ?2???001?????2?????3???18?27?10????1???x???x3????x1??
y??a10??x2????x3??（3）当a?1,3,6时，能观测的状态空间描述（能观测II型）：
?1??00?18??x1??a??x?x?2???10?27??x2???1?u??????????3??01?10????0?? ?x???x3????x1??y??001??x2????x3??AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF
考研必备之自动化专业 自控原理 第九章 状态空间分析法答案-计算题
