(Ⅲ)设F(x)?|f(x)?(x?a)|(a?R),记F(x)在区间[?2,4]上的最大值为M(a),当M(a)
最小时,求a的值.
8、【2019年高考浙江】已知实数a?0,设函数f(x)=alnx?(1)当a??x?1,x?0.
3时,求函数f(x)的单调区间; 4x1f(x)?, 求a的取值范围. 均有,??)2ae2(2)对任意x?[注:e=2.71828…为自然对数的底数.
一、函数零点的问题
1、利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题,通常采用构造函数的方式,将问题转变成函数最值与零之间的比较,进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性,从而得到最值.
2、对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.但需注意探求与论证之间区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数. 二、函数单调性的讨论
对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则:互斥、无漏、最简;,解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.
三、新型定义问题的处理
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念,对阅读理解能力有一定的要求。但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝。
题型一 利用导数研究含参不等式恒成立问题
含参函数的不等式恒成立问题一般处理策略:方法一:分离参数:将参数分离处理,此法是首选.但是在分离的过程中,若涉及到除以某一因式,要进行讨论。
方法二:运用函数的思想,构造一个函数研究这个函数的最大值或者最小值,在某些情况下有可能涉及二次求导。
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例1、(2019南京三模)已知函数f(x)=x2-alnx+x-,对任意x∈[1,+∞),当f(x)≥mx恒成立时实数
22m的最大值为1,则实数a的取值范围是 . 题型二 利用导数研究不等式问题
利用导数证明不等式的常规解题策略:(1) 构造差函数h(x)=f(x)-g(x),根据差函数的导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式;(2) 根据条件,寻找目标函数.一般思路为充分利用条件将求和问题转化为对应项之间的大小关系,或利用放缩、等量代换等手段将多元函数转化为一元函数.
a
例2、(2019南通、泰州、扬州一调)已知函数f(x)=+lnx(a∈R).
x(1) 讨论f(x)的单调性;
(2) 设f(x)的导函数为f′(x),若f(x)有两个不相同的零点x1,x2. ①求实数a的取值范围;
②证明:x1f′(x1)+x2f′(x2)>2lna+2.
题型三、利用导数研究含义绝对值的问题
解答题中绝对值处理策略简述:方法一:取绝对值,这是首选的;方法二:研究绝对值里面函数的相关问题,然后加上绝对值,分析其变化,最后解决题目的要求 例3、(2019苏锡常镇调研)已知函数f(x)=(x+1)lnx+ax(a∈R). (1) 若y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x+y+b=0,求实数a,b的值; f(x)
(2) 设函数g(x)=,x∈(其中e为自然对数的底数).
x①当a=-1时,求g(x)的最大值; ②若h(x)=?
g(x)?
?ex?是单调递减函数,求实数a的取值范围.
题型四 利用导数研究定义型函数问题
本题属于新定义型函数,读懂题意,建立方程组是解题的关键,
例4、(2019苏州期初调查)若对任意的实数k,b,函数y=f(x)+kx+b与直线y=kx+b总相切,则称函数f(x)为“恒切函数”.
(1) 判断函数f(x)=x2是否为“恒切函数”;
(2) 若函数f(x)=mlnx+nx(m≠0)是“恒切函数”,求实数m,n满足的关系式; 1
(3) 若函数f(x)=(ex-x-1)ex+m是“恒切函数”,求证:-4
一、填空题
1、(2018苏北四市期末) 在平面直角坐标系xOy中,曲线C:xy=3上任意一点P到直线l:x+3y=0的距离的最小值为________.
2、(2018年徐州期末) 若不等式bx?c?9lnx≤x2对任意实数x??0,???,b??0,3?恒成立,则实数c的取值范围 .
3、已知函数f(x)?ax3?3x2?1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0?0,则a的取值范围是 .
?2x+cosx, x≥0,4、(2017苏北四市期末) 已知函数f(x)=?若关于x的不等式f(x)<π的解集为(-∞,
?x?a-x?, x<0.
π
),则实数a的取值范围是________. 2
5、(2018苏州期末) 已知直线y=a分别与直线y=2x-2和曲线y=2ex+x相交于点A,B,则线段AB长度的最小值为________.
6、(2018宿迁期末)已知函数g(x)?范围是 .
7、(2017南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy中,已知点P为函数y=2lnx的图像与圆M:(x-3)2+y2=r2的公共点,且它们在点P处有公切线,若二次函数y=f(x)的图像经过点O,P,M,则y=f(x)的最大值为________.
8、(2019苏锡常镇调研)已知e为自然对数的底数,函数f(x)?ex?ax2的图像恒在直线y?则实数a的取值范围为 .
?|x+3|,?
9、(2019南京、盐城二模) 已知函数f(x)=?2
?x-12x+3,?
14a312x?x?x(a?R,a?0)有且仅有3个极值点,则a的取值4323ax上方,2x≤0,x>0.
设g(x)=kx+1,且函数y=f(x)
-g(x)的图像经过四个象限,则实数k的取值范围为________.
10、(2019苏锡常镇调研)已知函数f(x)=x2+|x-a|,g(x)=(2a-1)x+alnx,若函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像恰好有两个不同的交点,则实数a的取值范围为________.
11、(2017南京、盐城二模)已知函数f(x)=lnx+(e-a)x-b,其中e为自然对数的底数.若不等式f(x)≤0
b
恒成立,则的最小值为________.
a
12、(2018无锡期末)若函数f(x)=(x+1)2|x-a|在区间[-1,2]上单调递增,则实数a的取值范围是________. 二、解答题
13、(2019镇江期末)己知函数f(x)=alnx-bx(a,b∈R). (1) 若a=1,b=1,求函数f(x)的图像在x=1处的切线方程; (2) 若a=1,求函数y=f(x)的单调区间;
(3) 若b=1,已知函数y=f(x)在其定义域内有两个不同的零点x1,x2,且x10)恒成立,求实数m的取值范围.
14、(2019泰州期末)设A,B为函数y=f(x)图像上相异两点,且点A,B的横坐标互为倒数.在点A,B处分别作函数y=f(x)的切线,若这两条不重合的切线存在交点,则称这个交点为函数f(x)的“优点”.
??lnx,
(1) 若函数f(x)=?2
?ax,?
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不存在“优点”,求实数a的值;
(2) 求函数f(x)=x2的“优点”的横坐标的取值范围; (3) 求证:函数f(x)=lnx的“优点”一定落在第一象限.
15、(2018扬州期末)已知函数f(x)=ex,g(x)=ax+b,a,b∈R.
(1) 若g(-1)=0,且函数g(x)的图像是函数f(x)图像的一条切线,求实数a的值;