方案一：采光装置由平面镜M和两个凸透镜L1、L2组成．透镜组置于平面镜M后面，装置中各元件的相对方位及光路图如图1所示．
45? M 22.5 ?L1 f1 L2 Wf2 H 图1
L1、L2的直径分别用D1、D2表示，其焦距的大小分别为f1 、f2．两透镜的距离
d?f1?f2 （1）
直径与焦距应满足关系
f1f?2 （2） D1D2?，透过透镜L1的光强为I1?，考虑到透镜L1对光的吸收有 设射入透镜L1的光强为I10? （3） I1??0.70I10
从透镜L1透出的光通量等于进入L2的光通量，对应的光强与透镜的直径平方成反比，进入L2的光强用I20表示，即
I20D12?f1??2??? I1?D2?f2?故有
2I20?f??I1??1? （4）
?f2?2??0.70I20，考虑到（3）式，得 透过L2的光强I2?f???0.49I10??1? （5） I2?f2?2?是平面镜M的反射光的光强，反射光是入射光的80%，设射入由于进入透镜L1的光强I10装置的太阳光光强为I0，则
??0.80I0 I10
代入（5）式有
?f???0.39I0?1? （6） I2?f2?按题设要求
2??2I0 I2代入（6）式得
2?f?2I0?0.39I0?1?
?f2?从而可求得两透镜的焦距比为
f1?2.26 （7） f2L2的直径应等于圆形窗户的直径W，即D2?10cm，由（2）式得
D1?D2f1?22.6cm （8） f2由图可知，平面镜M参与有效反光的部分为一椭圆，其半短轴长度为
b?D1/2?11.3cm （9）
半长轴长度为
a?D1(2sin22.5?)?29.5cm （10）
根据装置图的结构，可知透镜组的光轴离地应与平面镜M的中心等高，高度为H． 评分标准：本题20分．
作图8分（含元件及其相对方位，光路），求得（7）、（8）两式共10分，（9）、（10）式共2分．
方案二：采光装置由平面镜M和两个凸透镜L1、L2组成，透镜组置于平面镜M前面，装置中各元件的相对方位及光路图如图2所示．
L1f1 f2 L2 45? M W 22.5?H 图2
对透镜的参数要求与方案一相同．
但反射镜M的半短轴、半长轴的长度分别为
b?D2/2?5.0cm 和a?D2(2sin22.5?)?13.1cm
评分标准：参照方案一．
方案三、采光装置由平面镜M和一个凸透镜L1、一个凹透镜L2组成，透镜组置于平面镜M后面（也可在M前面），装置中各元件的相对方位及光路图如图3所示．
45? M 22.5 ?L1 L2f2 f1 W H 图3
有关参数与方案一相同，但两透镜的距离
d?f1?f2
如果平面镜放在透镜组之前，平面镜的尺寸和方案一相同；如果平面镜放在透镜组之后，平面镜的尺寸和方案二相同． 评分标准：参照方案一．
九、参考解答：
1．假设碰撞后球1和球2的速度方向之间的夹角为?（见图），
v2 v0 0 ? m0 m0 v1
则由能量守恒和动量守恒可得
m0c2?m0c2?0?m0c2?1?m0c2?2 （1）
?m0v0?0?其中?0?
2??m0v1?1???m0v2?2??2?m0v1?1??m0v2?2?cos?22
（2）
11?v/c202，?1?11?v/c212，?2?11?v/c222．
由（1）、（2）式得
1??0??1??2 （3）
22?0?1??12??2?2(v1v2/c2)?1?2cos? （4）
由（3）、（4）式得
22?0?1?(?12??2)2(?1?1)(?2?1)2cos??c?c?0 （5）
2v1v2?1?2v1v2?1?2??π （6） 2即为锐角．
在非相对论情况下，根据能量守恒和动量守恒可得
11122m0v0?m0v2?m0v2 （7） 1222?m0v0?2??m0v1???m0v2??2?m0v1??m0v2?cos?22
（8）
对斜碰，v1的方向与v2的方向不同，要同时满足（1）和（2）式，则两者方向的夹角
??π （9） 2即为直角．
2．根据能量守恒和动量守恒可得
m0c?2m0c21?vc202?m0c21?vc212?m0c21?vc222 （10）
m0v01?vc令?0?则有：
202?m0v11?vc212?m0v21?vc222 （11）
，?2?11?v/c202，?1?11?v/c21211?v/c222
222v0?c1?1/?0，v1?c1?1/?1，v2?c1?1/?2 代入（10）、（11）式得
1??0??1??2 （12）
2?02?1??12?1??2?1
（13）
解（12）、（13）两式得
?1?1 ?2??0 （14）
或
?1??0 ?2?1 （15）
第27届全国中学生物理竞赛复赛试题及解答（word版）
