方案一:采光装置由平面镜M和两个凸透镜L1、L2组成.透镜组置于平面镜M后面,装置中各元件的相对方位及光路图如图1所示.
45? M 22.5 ?L1 f1 L2 Wf2 H 图1
L1、L2的直径分别用D1、D2表示,其焦距的大小分别为f1 、f2.两透镜的距离
d?f1?f2 (1)
直径与焦距应满足关系
f1f?2 (2) D1D2?,透过透镜L1的光强为I1?,考虑到透镜L1对光的吸收有 设射入透镜L1的光强为I10? (3) I1??0.70I10
从透镜L1透出的光通量等于进入L2的光通量,对应的光强与透镜的直径平方成反比,进入L2的光强用I20表示,即
I20D12?f1??2??? I1?D2?f2?故有
2I20?f??I1??1? (4)
?f2?2??0.70I20,考虑到(3)式,得 透过L2的光强I2?f???0.49I10??1? (5) I2?f2?2?是平面镜M的反射光的光强,反射光是入射光的80%,设射入由于进入透镜L1的光强I10装置的太阳光光强为I0,则
??0.80I0 I10
代入(5)式有
?f???0.39I0?1? (6) I2?f2?按题设要求
2??2I0 I2代入(6)式得
2?f?2I0?0.39I0?1?
?f2?从而可求得两透镜的焦距比为
f1?2.26 (7) f2L2的直径应等于圆形窗户的直径W,即D2?10cm,由(2)式得
D1?D2f1?22.6cm (8) f2由图可知,平面镜M参与有效反光的部分为一椭圆,其半短轴长度为
b?D1/2?11.3cm (9)
半长轴长度为
a?D1(2sin22.5?)?29.5cm (10)
根据装置图的结构,可知透镜组的光轴离地应与平面镜M的中心等高,高度为H. 评分标准:本题20分.
作图8分(含元件及其相对方位,光路),求得(7)、(8)两式共10分,(9)、(10)式共2分.
方案二:采光装置由平面镜M和两个凸透镜L1、L2组成,透镜组置于平面镜M前面,装置中各元件的相对方位及光路图如图2所示.
L1f1 f2 L2 45? M W 22.5?H 图2
对透镜的参数要求与方案一相同.
但反射镜M的半短轴、半长轴的长度分别为
b?D2/2?5.0cm 和a?D2(2sin22.5?)?13.1cm
评分标准:参照方案一.
方案三、采光装置由平面镜M和一个凸透镜L1、一个凹透镜L2组成,透镜组置于平面镜M后面(也可在M前面),装置中各元件的相对方位及光路图如图3所示.
45? M 22.5 ?L1 L2f2 f1 W H 图3
有关参数与方案一相同,但两透镜的距离
d?f1?f2
如果平面镜放在透镜组之前,平面镜的尺寸和方案一相同;如果平面镜放在透镜组之后,平面镜的尺寸和方案二相同. 评分标准:参照方案一.
九、参考解答:
1.假设碰撞后球1和球2的速度方向之间的夹角为?(见图),
v2 v0 0 ? m0 m0 v1
则由能量守恒和动量守恒可得
m0c2?m0c2?0?m0c2?1?m0c2?2 (1)
?m0v0?0?其中?0?
2??m0v1?1???m0v2?2??2?m0v1?1??m0v2?2?cos?22
(2)
11?v/c202,?1?11?v/c212,?2?11?v/c222.
由(1)、(2)式得
1??0??1??2 (3)
22?0?1??12??2?2(v1v2/c2)?1?2cos? (4)
由(3)、(4)式得
22?0?1?(?12??2)2(?1?1)(?2?1)2cos??c?c?0 (5)
2v1v2?1?2v1v2?1?2??π (6) 2即为锐角.
在非相对论情况下,根据能量守恒和动量守恒可得
11122m0v0?m0v2?m0v2 (7) 1222?m0v0?2??m0v1???m0v2??2?m0v1??m0v2?cos?22
(8)
对斜碰,v1的方向与v2的方向不同,要同时满足(1)和(2)式,则两者方向的夹角
??π (9) 2即为直角.
2.根据能量守恒和动量守恒可得
m0c?2m0c21?vc202?m0c21?vc212?m0c21?vc222 (10)
m0v01?vc令?0?则有:
202?m0v11?vc212?m0v21?vc222 (11)
,?2?11?v/c202,?1?11?v/c21211?v/c222
222v0?c1?1/?0,v1?c1?1/?1,v2?c1?1/?2 代入(10)、(11)式得
1??0??1??2 (12)
2?02?1??12?1??2?1
(13)
解(12)、(13)两式得
?1?1 ?2??0 (14)
或
?1??0 ?2?1 (15)
第27届全国中学生物理竞赛复赛试题及解答(word版)
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