a0?sin?cos?g （11） 21+sin?利用（2）式可得
a?=5 （12） g3
5mg （13） 3N=a0?1g （14） 3由（4）式和（14）式，可得螺旋环的角加速度
??若小球自静止开始运动到所考察时刻经历时间为t，则此时螺旋环的角速度
?g（15） ?R
???t （16）
因小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖直方向的直线运动的合成，而小球沿竖直方向的加速度
??a?sin?（17） a??a?
故有
h=1a?t2 （18） 2由（15）、（16）、（17）、（18）、以及（2）式得
???2gh （19）
R3小球在水平面内作圆周运动的向心力由螺旋环提供，向心力位于水平面内，方向指向转轴，故向心力与图2中的纸面垂直，亦即与N垂直．向心力的大小
N1?m2vPR （20）
式中v?是小球相对地面的速度在水平面内的分量.若a?为小球相对地面的加速度在水平面内的分量，则有
vP?aPt （21） ?为a?在水平面内的分量，有 令a???a0?a?cos?-a0 （22） aP?aP由以上有关各式得
N1?2hmg （23） 3R小球作用于螺旋环的力的大小
由（13）、（23）和（24）式得
N0?N2?N12 （24）
mg4h2N0?5?2 （25）
3R评分标准：本题22分． （1）、（2）式共3分，（9）或（12）式1分，（10）或（13）式5分，（11）或（14）式1分，（19）式6分，（23）式4分，（25）式2分．
四、参考解答：
以v表示粒子的速率，以B表示电流i产生磁场
y 的磁感应强度，根据题意粒子作圆周运动的向心力为
粒子受到的磁场洛仑兹力，因此有
i 2vqvB?m （1） q RR 而 ?t x v??R （2） O 由（1）、（2）两式得
B?m?（3）
q
d 如图建立坐标系，则粒子在时刻t的位置
x(t)?Rcos?t，y(t)?Rsin?t （4）
取电流的正方向与y轴的正向一致，设时刻t长直导线上的电流为i(t)，它产生的磁场在粒子所在处磁感应强度大小为
i(t) （5） B?kd?x(t)方向垂直圆周所在的平面.由（4）、（5）式，可得
m?i(t)?k(d?Rcos?t)
q
（6）
评分标准：本题12分．
（3）式4分，（4）式2分，（5）式4分，（6）式2分．
五、参考解答：
1．质点在A?B应作减速运动（参看图1）．设质点在A点的最小初动能为Ek0，则根据能量守恒，可得质点刚好能到达B点的条件为 kqQkqQkqQkqQ （1） ??mgR?Ek0??R3R/22R5R/2由此可得:
M Q C O? ?Q O R2 R B R A q 7kqQ （2） 30R2． 质点在B?O的运动有三种可能情况： Ek0?mgR?
N 图1
i．质点在B?O作加速运动（参看图1），对应条件为
4kqQ （3） mg?9R2此时只要质点能过B点，也必然能到达O点，因此质点能到达O点所需的最小初动能由（2）式给出，即
Ek0?mgR?7kqQ （4） 30R若（3）式中取等号，则最小初动能应比（4）式给出的Ek0略大一点． ii．质点在B?O作减速运动（参看图1），对应条件为 4kqQ （5） mg?2R此时质点刚好能到达O点的条件为 kqQkqQkqQkqQ （6） ??mg(2R)?Ek0??RR/22R5R/2由此可得
11kqQ （7） Ek0?2mgR?10Riii．质点在B?O之间存在一平衡点D（参看图2），在B?D质点作减速运动，在D?O质点作加速运动，对应条件为
4kqQ4kqQ （8） ?mg?9R2R2设D到O点的距离为x，则
M Q C O? ?Q O D x R2 R mg?即
kqQ （9）
2(?R/2??x)B R A q N 图2
x?kqQR （10）
?mg2根据能量守恒，质点刚好能到达D点的条件为
kqQkqQkqQkqQ （11）
??mg(2R?x)?Ek0??R2R5R/2?R/2??x由（10）、（11）两式可得质点能到达D点的最小初动能为
59kqQEk0?mgR??2kgmqQ （12）
210R只要质点能过D点也必然能到达O点，所以，质点能到达O点的最小初动能也就是（12）式（严格讲应比（12）式给出的Ek0略大一点．）
评分标准：本题20分．
第1小问5分．求得（2）式给5分．
第2小问15分．算出第i种情况下的初动能给2分；算出第ii种情况下的初动能给5分；算出第iii种情况下的初动能给8分，其中（10）式占3分．
六、参考解答：
n?1时，A、B间等效电路如图1所示， A、B间的电阻
rL
A
rL 图1
rL B
rL
1R1?(2rL)?rL （1）
2n?2时，A、B间等效电路如图2所示，A、B间的电阻
2313rLR123rLB
A 23rL
13R1
23rL
图2
R2?1?41?rL?R1? （2） ?2?33?由（1）、（2）两式得
5R2?rL (3)
6n?3时，A、B间等效电路如图3所示，A、B间的电阻
2911rL 93rL 13rL 2rL 1R2 1rL 9rL 3393919A
2991rL rL 13rL rL 29B
rL 9rL 13R2 rL 31rL 39rL
图3
39rL
R3?1?1?331??2??3?3??2rL?R2? （4） ???2?9?443??由（3）、（4）式得
R3?7rL （5） 9
评分标准：本题20分．
（1）式4分，（3）式6分，（5）式10分．
七、参考解答：
24１．根据题意，太阳辐射的总功率PS?4πRS?TS．太阳辐射各向同性地向外传播．设
地球半径为rE，可以认为地球所在处的太阳辐射是均匀的，故地球接收太阳辐射的总功率为
?R?PI??TS4?S?πrE2 （1）
?d?地球表面反射太阳辐射的总功率为?PI．设地球表面的温度为TE，则地球的热辐射总功率为
2PE?4πrE2?TE4 （2）
考虑到温室气体向地球表面释放的热辐射，则输入地球表面的总功率为PI??PE．当达到热平衡时，输入的能量与输出的能量相等，有
PI??PE??PI?PE （3）
由以上各式得
1/41/22?1???TE?TS??2?1???代入数值，有
?RS??d??? （4）
TE?287K （5）
2．当地球表面一部分被冰雪覆盖后，以??表示地球表面对太阳辐射的平均反射率，根据题意这时地球表面的平均温度为TE?273K．利用（4）式，可求得
???0.43 （6）
设冰雪覆盖的地表面积与总面积之比为x，则
????1x??2(1?x) （7）
由（6）、（7）两式并代入数据得
x?30% （8） 评分标准：本题15分．
第1小问11分．（1）式3分，（2）式1分，（3）式4分，（4）式2分，（5）式1分． 第2小问4分．（6）式2分，（8）式2分．
八、参考解答：
第27届全国中学生物理竞赛复赛试题及解答（word版）
