2020g （3） g?Ni?ππ0.45即
20?Ni?29 （4）
因此，第i个摆的摆长为
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 li/m 0.993 0.901 0.821 0.751 0.690 0.635 0.588 0.545 0.507 0.472 li?400g (i?1,2,?,10) （5） 22π(19?i)2．20s
评分标准：本题15分．
第1小问11分．（2）式4分，（4）式4分，10个摆长共3分． 第2小问4分．
二、参考解答：
设该恒星中心到恒星－行星系统质心的距离为d，根据题意有
d?L?? （1） 2?3将有关数据代入（1）式，得d?5?10AU．又根据质心的定义有
r?d?Md （2） m式中r为行星绕恒星做圆周运动的轨道半径，即行星与恒星之间的距离.根据万有引力定律有
Mm?2π?G2?Md?? （3） r?T?由（2）、（3）两式得
2m?1?Mm?24π2d3 （4） ?2GTMd，把(3)式写m[若考生用r表示行星到恒星⺷行星系统质心的距离，从而把(2)式写为r?为GMm?r?d?m2?2π??Md??，则同样可得到(4)式，这也是正确的.] 利用（1）式，可得
?T?2
?1?Mm?2?L????3π22GT2 （5）
（5）式就是行星质量m所满足的方程．可以把(5)试改写成下面的形式
?mM?32?1?mM??L????3π222GMT （6）
因地球绕太阳作圆周运动，根据万有引力定律可得
(1AU)3GMS ?(1y)24π2 （7）
注意到M?MS，由（6）和（7）式并代入有关数据得
?mMS?32?1?m
MS??8.6?10?10 (8)
由（8）式可知
m??1 MS由近似计算可得
m?1?10?3MS （9）
由于mM小于1/1000，可近似使用开普勒第三定律，即
r3(1AU)3?（10）
T2(1y)2
代入有关数据得
r?5AU （11）
评分标准：本题20分．
（1）式2分，（2）式3分，（3）式4分，（5）式3分，（9）式4分，（11）式4分．
三、参考解答：
解法一
一倾角为?的直角三角形薄片(如图1所示)紧贴于半径为R的圆柱面，圆柱面的轴线与直角三角形薄片的沿竖直方向的直角边平行，若m 把此三角形薄片卷绕在柱面上，则三角形薄片的
h v? 斜边就相当于题中的螺线环．根据题意有
tan??可得：
πR1? （1） 2πR2u图1
? 525，cos?? （2） sin??55设在所考察的时刻，螺旋环绕其转轴的角速度为?，则环上每一质量为?mi的小质元绕转轴转动线速度的大小都相同，用u表示，
u??R （3） 该小质元对转轴的角动量
?Li??miuR??miR2?
整个螺旋环对转轴的角动量
L???Li???miR2??mR2? （4）
小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖直方向的直线运动的合成．在螺旋环的角速度为?时，设小球相对螺旋环的速度为v?，则小球在水平面内作圆周运动的速度为
vP?v?cos???R沿竖直方向的速度
（5）
v??v?sin? （6）
对由小球和螺旋环组成的系绕，外力对转轴的力矩为0，系统对转轴的角动量守恒，故有
0?mvPR?L
（7）
由（4）、（5）、（7）三式得：
v?cos???R=?R （8）
在小球沿螺旋环运动的过程中，系统的机械能守恒，有
mgh?1122mvP?v????miu2 （9） 22
??由（3）、（5）、（6）、（9）四式得：
2gh=?v?cos???R??v?2sin2????R2解（8）、（10）二式，并利用（2）式得
2
（10）
ω=12gh （11）
R310gh （12） 3v?=由（6）、（12）以及（2）式得
v??或有
2gh （13） 3
12v??2gh （14）
3
（14）式表明，小球在竖直方向的运动是匀加速直线运动，其加速度
a??若小球自静止开始运动到所考察时刻经历时间为t，则有
1g （15） 3
h=1a?t2 （16） 2
由（11）和（16）式得
??gt （17） 3R
g （18）
3R
（17）式表明，螺旋环的运动是匀加速转动，其角加速度
??小球对螺旋环的作用力有：小球对螺旋环的正压力N1，在图1所示的薄片平面内，方向垂直于薄片的斜边；螺旋环迫使小球在
m ?C N2R 图2
?的反作用力N2．向心力N2?在水平面内作圆周运动的向心力N2
水平面内，方向指向转轴C，如图2所示．N1、N2两力中只有N1对螺旋环的转轴有力矩，由角动量定理有
N1sin?R?t??L （19）
由（4）、（18）式并注意到
????得 ?tN1?而
mg5 （20） ?mg3sin?3
2vP??mN2?N2R
（21）
由以上有关各式得
N2?2hmg（22） 3R
小球对螺旋环的作用力
14h2 （23） N?N?N?mg5?23R
2122评分标准：本题22分． （1）、（2）式共3分，（7）式1分，（9）式1分，求得（11）式给6分，（20）式5分，（22）式4分，（23）式2分．
解法二
一倾角为?的直角三角形薄片(如图1所示)紧贴于半径为R的圆柱面，圆柱面的轴线与直角三角形薄片的沿竖直方向的直角边平行，若把此三角形薄片卷绕在柱面上，则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线环．?
m h v? u图1
? ?
? （1） 根据题意有：tan??2πR2
可得：sin??，cos??5
πR1525 （2） 5螺旋环绕其对称轴无摩擦地转动时，环上每点线速度的大小等于直角三角形薄片在光滑水平地面上向左移动的速度．小球沿螺旋环的运动可视为在竖直方向的直线运动和在水平面内的圆周运动的合成．在考察圆周运动的速率时可以把圆周运动看做沿水平方向的直线运动，结果小球的运动等价于小球沿直角三角形斜边的运动．小球自静止开始沿螺旋环运动到在竖直方向离初始位置的距离为h的位置时，设小球相对薄片斜边的速度为v?，沿薄片斜边的加速度为a?．薄片相对地面向左移动的速度为u，向左移动的加速度为a0．u就是螺旋环上每一质元绕转轴转动的线速度，若此时螺旋环转动的角速度为?，则有
u??R （3）
而a0就是螺旋环上每一质元绕转轴转动的切向加速度，若此时螺旋环转动的角加速度为?，则有
a0??R （4）
小球位于斜面上的受力情况如图2所示：
Nf*a0a?mg图2?
重力mg，方向竖直向下，斜面的支持力N，方向与斜面垂直，以薄片为参考系时的惯性力f，方向水平向右，其大小
?f??ma0 （5）
由牛顿定律有
mgcosθ?N?f?sin??? （6） mgsin??f?cos??ma? （7） Nsin??ma0 （8）
解（5）、（6）、（7）、（8）四式得
2sin?g （9） 2??sin? cos?N=mg （10）
1?sin2? a?=
第27届全国中学生物理竞赛复赛试题及解答（word版）
