初中数学奥林匹克竞赛题和答案
(3)若m=3时，有
解之得
故p＋q=8。
奥数题二
一、选择题 1．数1是 ( ) A．最小整数 B．最小正数 C．最小自然数 D．最小有理数 答案：C
解析：整数无最小数，排除A；正数无最小数，排除B；有理数无最小数，排除D。1是最小自然数，正确，故选C。
2.a为有理数，则一定成立的关系式是 ( ) A．7a＞a B．7+a＞a C．7+a＞7 D．|a|≥7 答案：B
解析：若a=0，7×0=0排除A；7+0=7排除C；|0|＜7排除D，事实上因为7＞0，必有7+a＞0+a=a．选B。
3.3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)的值是 ( ) A．6.1632 B．6.2832 C．6.5132 D．5.3692 答案：B
解析：3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)
=3.1416(7.5944-5.5944)=2×3.1416 =6.2832，选B。
4.在-4，-1，-2.5，-0.01与-15这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是( ) A．225 B．0.15
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C．0.0001 D．1 答案：B
解析：-4，-1，-2.5，-0.01与-15中最大的数是-0.01，绝对值最大的数是-15，(-0.01)×(-15)=0.15，选B。 二、填空题
1．计算：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=______。
答案：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=(-2)-(-1) =-1 。 2.求值：(-1991)-|3-|-31||=______。
答案：(-1991)-|3-|-31||=-1991-28=-2024。
3.n为正整数，1990n-1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是8009。则n的最小值等于______。 答案：4
解析：1990n的末四位数字应为1991+8009的末四位数字．即为0000，即1990n末位至少要4个0，所以n的最小值为4。 4.不超过(-1.7)2的最大整数是______。 答案：2
解析：(-1.7)2=2.89，不超过2.89的最大整数为2。 5.一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是______。 答案：29
解析：个位数比十位数大7的两位数有18，29，其中只有29是质数。 三、解答题
1．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋2000的值。 答案：原式
=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000 =2x×1＋3×1-2x+2000=2003。
2．某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件。试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？
答案：原来每天可获利4×100元，若每件提价x元，则每件商品获利(4＋x)元，但每天卖出为(100-10x)件。 如果设每天获利为y元， 则y ＝(4＋x)(100-10x) =400＋100x-40x-10x2
=-10(x2-6x＋9)＋90＋400 =-10(x-3)2＋490。
所以当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，每天获利最大为490元。 3．如图1－96所示，已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1＋∠2=90°。求证：DA⊥AB。
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证明：∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC及∠1＋∠2=90°， ∴∠ADC＋∠BCD=180°， ∴ AD∥BC。 又∵ AB⊥BC， ∴AB⊥AD。
4.求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整数解。
答案：｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4，即 ｜x｜(｜y｜-2)+(｜y｜-2)=2， 所以(｜x｜+1)(｜y｜-2)=2。
因为｜x｜＋1＞0，且x，y都是整数，所以
5.王平买了年利率7.11％的三年期和年利率为7.86％的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(一年期定期储蓄年利率为5.22％)
答案：设设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则
因为 y=35000-x，
所以 x(1＋0.0711×3)(1＋0.0522)2+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761， 所以 1.3433x＋48755-1.393x=47761， 所以 0.0497x=994，
所以 x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)。 6. 对k，m的哪些值，方程组答案：因为 (k－1)x＝m-4， ①
至少有一组解？
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m为一切实数时，方程组有唯一解．当k=1，m=4时，①的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解。 当k=1，m≠4时，①无解。
所以，k≠1，m为任何实数，或k=1，m=4时，方程组至少有一组解。
奥数题三
一、选择题
1.下面给出的四对单项式中，是同类项的一对是 ( ) A. x2y与-3x2z B.3.22m2n与 nm2
C.0.2a2b与0.2ab2 D.11abc与 ab 答案：B
解析：字母相同,并且相同字母的指数也相同的两个式子叫同类项。 2.(x-1)-(1-x)+(x+1)等于 ( ) A．3x-3 B．x-1 C．3x-1 D．x-3 答案：C
解析：(x-1)-(1-x)+(x+1)
=x-1-1+x+x+1=3x-1，选C。 3.两个10次多项式的和是 ( ) A．20次多项式 B．10次多项式 C．100次多项式
D．不高于10次的多项式 答案：D
解析：多项式x+x与-x+x2之和为x2+x是个次数低于10次的多项式，因此排除了A、B、C，选D。
4.若a+1＜0，则在下列每组四个数中，按从小到大的顺序排列的一组是 ( ) A．a，-1，1，-a B．-a，-1，1，a C．-1，-a，a，1 D．-1，a，1，-a 答案：A
解析：由a+1＜0，知a＜-1，所以-a＞1。于是由小到大的排列次序应是a＜-1＜1＜-a，选A。
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5.a=-123.4-(-123.5)，b=123.4-123.5，c=123.4-(-123.5)，则 ( ) A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a 答案：B 解析：易见a=-123.4+123.5=0.1，b=123.4-123.5＜0，c=123.4-(-123.5)＞123.4＞a，所以b＜a＜c，选B。 6．若a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，那么下列式子中结果是正数的是 ( ) A．(a-b)(ab+a) B．(a+b)(a-b) C．(a+b)(ab+a) D．(ab-b)(a+b) 答案：A 因为a＜0，b＞0．所以|a|=-a，|b|=b．由于|a|＜|b|得-a＜b，因此a+b＞0，a-b＜0。ab+a＜0，ab-b＜0。所以应有(a-b)(ab+a)＞0成立，选A。 7．从2a+5b减去4a-4b的一半，应当得到( ) A．4a-b B．b-a C．a-9b D．7b 答案：D 1解析：2a?5b?（4a?4b）=2a+5b-2a+2b=7b，选D。 28．a，b，c，m都是有理数，并且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么b与c ( ) A．互为相反数 B．互为倒数 C．互为负倒数 D．相等 答案：A 解析：因为a+2b+3c=m=a+b+2c，所以b+c=0，即b，c互为相反数，选A。 9．张梅写出了五个有理数，前三个有理数的平均值为15，后两个有理数的平均值是10，那么张梅写出的五个有理数的平均值是 ( ) A.5 B.8 C.12 D.13 答案：D 解析：前三个数之和=15×3， 后两个数之和=10×2。 所以五个有理数的平均数为（45+20）÷5=13，选D。 二、填空题（每题1分，共10分） 10 / 13
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