分类讨论思想在圆问题中的运用
分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学策略．分类原则：(1) 所讨论的全域要确定，分类要“既不重复，也不遗漏”；(2) 在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；(3) 对多级讨论，应逐级进行，不能越级．
讨论的基本步骤：(1) 确定讨论的对象和讨论的范围(全域)；(2) 确定分类的标准，进行合理的分类；(3) 逐步讨论(必要时还得进行多级分类)；(4) 总结概括，得出结论．
引起分类讨论的常见因素：(1) 由概念引起的分类讨论；(2) 使用数学性质、定理和公式时，其限制条件不确定引起的分类讨论；(3) 由数学运算引起的分类讨论；(4)由图形的不确定性引起的分类讨论；(5) 对于含参数的问题由参数的变化引起的分类讨论．简化和避免分类讨论的优化策略：(1) 直接回避．如运用反证法、求补法、消参法等有时可以避开繁琐讨论；(2) 变更主元．如分离参数、变参置换等可避开讨论；(3) 合理运算．如利用函数奇偶性、变量的对称、轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；(4) 数形结合．利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论．然能回避分类讨论的尽可能回避．
1.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为，求这条弦所对的圆周角的度数. 分析：根据垂径定理求得AD的长，再根据三角形函数可得到∠AOD的度数，再根据圆周角定理得到∠ACB的度数，根据圆内接四边形的对角互补即可求得∠AEB的度数. 解：如图1，过O作OD⊥AB，则AD＝AB＝×
0
＝．∵OA＝1，∴sin∠AOD＝
0
＝，∠AOD＝60．∵
0
∠AOD＝∠AOB＝60，∠ACB＝∠AOB，∴∠ACB＝∠AOD＝60．又∵四边形AEBC是圆内接四边形，∴∠AEB＝180﹣∠ACB＝180﹣60＝120．故这条弦所对的圆周角的度数等于60°或120度．
0
0
0
0
2.半径为13cm圆内的两条平行弦分别为10cm和24cm长，求两条平行弦之间距离；
分析：可分AB和CD在O的两旁和同旁两种情况讨论，然后运用垂径定理和勾股定理就可解决问题.
解：①若AB和CD在O的两旁，如图①a，过O作MN⊥AB于M，交CD于N，连接OB、OD，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∴BM＝AB＝12cm，DN＝CD＝5cm，∵OB＝OD＝13cm，∴OM＝
＝5cm，同理ON＝12cm，∴MN＝OM+ON
＝5+12＝17（cm），若AB和CD在O的同旁，如图①b，同理可得：MN＝12﹣5＝7（cm）．所以两条平行弦之间距离为17cm或7cm．
3.在半径为1的⊙O中，弦AB，AC的长分别为和，求∠BAC的度数.
分析：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据垂径定理求出AE、FA值，根据解直角三角形的知识求出∠OAB和∠OAC，然后分两种情况求出∠BAC即可.
解：有两种情况：①如图2所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，由垂径定理得：AE＝BE＝
0
0
，AF＝CF＝
0
，cos∠OAE＝＝，cos∠OAF＝＝，∴∠OAE＝30，∠OAF＝45，
0
00
∴∠BAC＝30+45＝75；②如图3所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA＝∠OFA＝90，由
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垂径定理得：AE＝BE＝
0
0
0
，AF＝CF＝
0
，cos∠OAE＝
0
0
＝，cos∠OAF＝＝，∴∠OAE＝30，∠OAF
0
＝45，∴∠BAC＝45﹣30＝15，故答案为：75或15；
4.已知圆内接△ABC中，AB＝AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为7cm，求腰长AB．
分析：可分圆心O在△ABC的外部和内部两种情况讨论，然后运用垂径定理和勾股定理就可解决问题.
解：分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，如图4，假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形，连接OB，作AD⊥BC于D，连接OD，∵AB＝AC，∴AD是BC的中垂线，∴OD也是BC的中垂线，∴A、O、D三点共线，∵OD＝3cm，OB＝7cm，∴AD＝10cm，∴BD＝＝2cm，∵OD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴AB＝
AD＝7﹣3＝4cm，∴AB＝
＝2
cm；如图5，若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形，和图4解法一样，只是＝2
cm，综上可得腰长AB＝2
cm或2
cm．
5.△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，BC＝20cm，点O到BC的距离为6cm，求△ABC的面积 分析：可根据勾股定理先求得BD的值，再根据勾股定理可求得AB的值．注意：圆心在内接三角形内时，AD＝10cm；圆心在内接三角形外时，AD＝4cm．
解：若圆心O在△ABC的外部，连接OA、OB，如图②a，则有OA⊥BC，BD＝DC＝BC＝10，∴OB＝BD+OD＝100+36＝136，∴OB＝2
2
2
2
2
，∴AD＝OA﹣OD＝OB﹣OD＝2﹣6，∴S△ABC＝BC?AD＝×20×（2﹣6）＝20﹣
60（cm）．若圆心O在△ABC的内部，连接OA并延长交BC于D，连接OB，如图②b，则有AD⊥BC，BD＝DC＝BC＝10，同理可得：S△ABC＝BC?AD＝×20×（2（20
+60）cm．
2
+6）＝20+60（cm）．故答案为：（20
2
﹣60）cm或
2
6.两个圆相切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，求另一个圆的半径. 分析：③由于两圆的圆心距小于一个圆的半径，因此两圆内切，可分所求圆的半径大于5和小于5两种情况讨论，然后运用切线的性质就可解决问题.
解：③不妨设⊙O2的半径为5，由题可得O1O2＝2．∵O1O2＜5，∴两个圆相内切．若⊙O2的半径比⊙O1的半径大，连接AO2，如图③a，则AO2必过点O1．∴AO1＝AO2﹣O1O2＝5﹣2＝3．若⊙O2的半径比⊙O1的半径小，连接AO1，如图③b，则AO1必过点O2，同理可得：AO1＝AO2+O1O2＝5+2＝7．故答案为：3或7．
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7.若O为△ABC的外心，∠C＝n°，试用n°表示∠AOB.
分析：可分点C与点O在AB的同侧和异侧两种情况讨论，然后运用圆周角定理和圆内接四边形的性质就可解决问题；
解：若点C与点O在AB的同侧，如图④a，则∠AOB＝2∠C＝2n°．若点C与点O在AB的异侧，如图④b，在弦AB所对的优弧上取一点D，连接DA、DB，则有∠C+∠D＝180°，∠AOB＝2∠D．∴∠AOB＝2（180°﹣∠C）＝2（180°﹣n°）＝360°﹣2n°．故答案为：2n°或360°﹣2n°．
8.OA、OB是⊙O的半径，且互相垂直，延长OB到C，使BC＝OB，CD是⊙O的切线，D为切点，求∠OAD的度数. 分析：可分点A与点D在直线OC的同侧和异侧两种情况讨论，然后运用切线的性质和特殊三角函数值就可解决问题；
0
解：若点A与点D在直线OC的同侧，连接OD，如图⑤a，∵CD与⊙O相切于D，∴OD⊥DC即∠ODC＝90．∵BC＝OB，OD＝OB，∴OC＝2OD，∴cos∠DOC＝OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝
∠OAD＝15．故答案为：75或15．
0
0
0
＝，∴∠DOC＝60．∵OA⊥OB即∠AOB＝90，∴∠AOD＝30．∵
0
000
＝75．若点A与点D在直线OC的异侧，连接OD，如图⑤b，同理可得
9.已知两圆的半径分别为4和5，公共弦长6，求两圆的圆距. 分析：可分两圆的圆心在公共弦的两侧和同侧两种情况讨论，然后运用相交两圆的性质和勾股定理即可解决问题； 解：不妨设⊙O1的半径为5，⊙O2的半径为4．若圆心O1与圆心O2在公共弦AB的两侧，连接AO1、AO2，如图⑥a，则有O1O2⊥AB，AH＝BH＝AB＝3．在Rt△AHO1中，O1H＝
＝
＝4．同理可得O2H＝
，∴O1O2
＝O1H+O2H＝4+．若圆心O1与圆心O2在公共弦AB的同侧，连接AO1、AO2，如图⑥b，同理可得：O1O2＝O1H﹣O2H＝4﹣．故答案为：4+或4﹣．
10.若一个点到圆的最长距离为a，最短距离为b，求此圆的半径. 分析：只需可分点在圆内和圆外两种情况讨论即可解决问题．
解：若点P在圆外，连接PO交⊙O于点A，延长PO与⊙O交于点B，如图⑦a，则PB＝a，PA＝b，∴AB＝PB﹣PA＝a﹣b，∴OA＝AB＝得：OA＝AB＝
．若点P在圆内，延长OP交⊙O于点A，延长PO与⊙O交于点B，如图⑦b，同理可
或
．
．故答案为：
11.如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q．A，B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为ts．（1）求PQ的长；（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？
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0
解:（1）连接OQ，∵PN与⊙O切于点Q，∴OQ⊥PN，即∠OQP=90，∵OP=10，OQ=6，∴据勾股定理得PQ=8（cm）． （2）过点O作OC⊥AB，垂足为C，∵点A的运动速度为5cm/s，点B的运动速度为4cm/s，运动时间为ts，
0
∴PA=5t，PB=4t，∵PO=10，PQ=8，∴PA:PO=PB:PQ，∵∠P=∠P，∴△PAB∽△POQ，∴∠PBA=∠PQO=90，∵∠BQO=
0
∠CBQ=∠OCB=90，∴四边形OCBQ为矩形．∴BQ=OC．∵⊙O的半径为6，∴BQ=OC=6时，直线AB与⊙O相切．①当AB运动到如图1所示的位置， BQ=PQ-PB=8-4t，∵BQ=6，∴8-4t=6，∴t=0.5（s）．②当AB运动到如图2所示的位置，BQ=PB-PQ=4t-8，∵BQ=6，∴4t-8=6，∴t=3.5（s）．∴当t为0.5s或3.5s时直线AB与⊙O相切．
12.如图，△OAB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝80，以点O为圆心，6为半径的优弧
0
分别
交OA，OB于点M，N．设点Q在优弧∠BOQ的度数．
上，当△AOQ的面积最大时，求
分析:当OQ⊥OA时，△AOQ面积最大，且左右两半弧上各存在一点分别求出即可． 解：如图2，当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最大；
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理由：∵OQ⊥OA，∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大，∴∠BOQ＝
∠AOQ+∠AOB＝90+80＝170，当Q点在优弧右侧上，∵OQ⊥OA，
000
∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大，∴∠BOQ＝∠AOQ﹣∠AOB＝90﹣80＝10，综上所述：当∠BOQ的
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度数为10或170时，△AOQ的面积最大．
000
13.如图，半圆O的直径AB＝4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点
在上且不与A点重合，但Q点可与B点重
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分类讨论思想在圆问题中的运用
