第九节 函数模型及其应用
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
(对应学生用书第29页)
[基础知识填充]
1．常见的几种函数模型
(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．
(2)反比例函数模型：y＝＋b(k，b为常数且k≠0)． (3)二次函数模型：y＝ax＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．
(4)指数函数模型：y＝a·b＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)． (5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)． (6)幂函数模型：y＝a·x＋b(a≠0)．
2．三种函数模型之间增长速度的比较
函数 性质 在(0，＋∞)上的增减性 增长速度 图像的变化 值的比较 nx2
kxy＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 单调递增 越来越快 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 单调递增 越来越慢 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 单调递增 因n而异 随n值变化而各有不同 nx存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜x＜a 3.解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图2-9-1表示如下：
图2-9-1
[知识拓展] “对勾”函数
形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
(1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．
(2)当x＞0时，x＝a时取最小值2a， 当x＜0时，x＝－a时取最大值－2a.
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2的函数值比y＝x的函数值大．( ) (2)幂函数增长比直线增长更快．( ) (3)不存在x0，使a＜x0＜logax0.( )
(4)f(x)＝x，g(x)＝2，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)＜f(x)＜
2
axx2
x0
nxg(x)．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到( ) A．100只 C．300只
B．200只 D．400只
B [由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，当x＝8时，y＝100log3 9＝200.]
3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( ) A．减少7.84% C．减少9.5%
B．增加7.84% D．不增不减
A [设某商品原来价格为a，依题意得：
a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a，
(0.921 6－1)a＝－0.078 4a，
所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%.]
4．若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为( )
B [由题意h＝20－5t(0≤t≤4)，其图像为B．]
5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．
(1＋p)(1＋q)－1 [设年平均增长率为x，则(1＋x)＝(1＋p)·(1＋q)， 所以x＝(1＋p)(1＋q)－1.]
(对应学生用书第30页)
2
用函数图像刻画变化过程 (1)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图像正确的是( )
(2)如图2-9-2所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用容器下面所对的图像表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中正确的有( )
图2-9-2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(1)A (2)C [(1)前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件： 第2章 函数、导数及其应用 第9节 函数模型及其应用学案
