首页 > 学生作文 > 读后感 > 读后感800字 >

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第10章-曲线积分与曲面积分

由天下分享时间：2025/2/12 10:18:50 加入收藏我要投稿点赞

第十章曲线积分与曲面积分

教学目的： 1. 2. 3. 4. 5.

理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。掌握计算两类曲线积分的方法。

熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。

了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。知道散度与旋度的概念，并会计算。

6．会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。教学重点:

1、两类曲线积分的计算方法； 2、格林公式及其应用； 3、两类曲面积分的计算方法； 4、高斯公式、斯托克斯公式；

5、两类曲线积分与两类曲面积分的应用。教学难点：

1、两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系； 2、对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算； 3、应用格林公式计算对坐标的曲线积分； 4、应用高斯公式计算对坐标的曲面积分； 5、应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。

§10.1 对弧长的曲线积分

一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量?

设一曲线形构件所占的位置在xOy面的一段曲线弧L上? 已知曲线形构件在点(x? y)处的线密度为?(x? y)? 求曲线形构件的质量?

把曲线分成n小段? ?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn(?si也表示弧长)? 任取(?i ? ?i)??si? 得第i小段质量的近似值?(?i ? ?i)?si? 整个物质曲线的质量近似为M???(?i,?i)?si?

i?1n页脚.

令??max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}?0? 则整个物质曲线的质量为 M?lim??(?i,?i)?si?

??0i?1n 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到?

定义设L为xOy面的一条光滑曲线弧? 函数f(x? y)在L上有界? 在L上任意插入一点列M1? M2? ? ? ?? Mn?1把L分在n个小段. 设第i个小段的长度为?si? 又(?i? ?i)为第i个小段上任意取定的一点? 作乘积f(?i? ?i)?si? (i?1? 2?? ? ?? n )? 并作和?f(?i,?i)?si? 如果当各小弧

i?1n段的长度的最大值??0? 这和的极限总存在? 则称此极限为函数f(x? y)在曲线弧L上对弧

n长的曲线积分或第一类曲线积分? 记作

lim?f(?i,?i)?si? ?Lf(x,y)ds? 即?Lf(x,y)ds???0i?1其中f(x? y)叫做被积函数? L 叫做积分弧段?

设函数f(x? y)定义在可求长度的曲线L上? 并且有界?

将L任意分成n个弧段? ?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn? 并用?si表示第i段的弧长? 在每一弧段?si上任取一点(?i? ?i)? 作和?f(?i,?i)?si?

i?1n 令??max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}? 如果当??0时? 这和的极限总存在? 则称此极限为函数f(x? y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分? 记作

n?Lf(x,y)ds? 即

lim?f(?i,?i)?si? ?Lf(x,y)ds???0i?1其中f(x? y)叫做被积函数? L 叫做积分弧段?

曲线积分的存在性? 当f(x? y)在光滑曲线弧L上连续时? 对弧长的曲线积分

?Lf(x,y)ds是存在的? 以后我们总假定f(x? y)在L上是连续的?

根据对弧长的曲线积分的定义?曲线形构件的质量就是曲线积分中?(x? y)为线密度?

?L?(x,y)ds的值? 其

页脚.

对弧长的曲线积分的推广?

lim?f(?i,?i,?i)?si? ??f(x,y,z)ds???0i?1n 如果L(或?)是分段光滑的? 则规定函数在L(或?)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和? 例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2? 则规定

?L?L12f(x,y)ds??f(x,y)ds??f(x,y)ds?

L1L2 闭曲线积分? 如果L是闭曲线? 那么函数f(x? y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作

?Lf(x,y)ds?

对弧长的曲线积分的性质? 性质1 设c1、c2为常数? 则

?L[c1f(x,y)?c2g(x,y)]ds?c1?Lf(x,y)ds?c2?Lg(x,y)ds?

?Lf(x,y)ds??L1 性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2? 则

f(x,y)ds??f(x,y)ds?

L2 性质3设在L上f(x? y)?g(x? y)? 则

?Lf(x,y)ds??Lg(x,y)ds? ?Lf(x,y)ds|??L|f(x,y)|ds

特别地? 有 | 二、对弧长的曲线积分的计算法

根据对弧长的曲线积分的定义? 如果曲线形构件L的线密度为f(x? y)? 则曲线形构件L的质量为

?Lf(x,y)ds?

x??(t)? y?? (t) (??t??)?

另一方面? 若曲线L的参数方程为则质量元素为

f(x,y)ds?f[?(t), ?(t)]曲线的质量为

??2(t)???2(t)dt?

页脚.

? 即

??f[?(t), ?(t)]??2(t)???2(t)dt?

f(x,y)ds??f[?(t), ?(t)]??2(t)???2(t)dt?

???L 定理设f(x? y)在曲线弧L上有定义且连续? L的参数方程为 x??(t)? y??(t) (??t??)?

其中?(t)、?(t)在[?? ?]上具有一阶连续导数? 且??2(t)???2(t)?0? 则曲线积分在? 且

?Lf(x,y)ds存

?Lf(x,y)ds??f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt(?

?? 证明（略）

应注意的问题? 定积分的下限?一定要小于上限?? 讨论?

(1)若曲线L的方程为y??(x)(a?x?b)? 则提示? L的参数方程为x?x? y??(x)(a?x?b)?

?Lf(x,y)ds??

?Lf(x,y)ds??f[x,?(x)]1???2(x)dx?

ab (2)若曲线L的方程为x??(y)(c?y?d)? 则提示? L的参数方程为x??(y)? y?y(c?y?d)?

?Lf(x,y)ds??

?Lf(x,y)ds??cdf[?(y),y]??2(y)?1dy?

(3)若曲?的方程为x??(t)? y??(t)? z??(t)(??t??)? 则

??f(x,y,z)ds??

??f(x,y,z)ds??f[?(t),?(t),?(t)]??2(t)???2(t)???2(t)dt?

??提示?

例1 计算

?Lyds? 其中L是抛物线y?x2上点O(0? 0)与点B(1? 1)之间的一段弧?

解曲线的方程为y?x2 (0?x?1)? 因此

?Lyds??101x21?(x2)?2dx??x1?4x2dx?1(55?1)?

012 例2 计算半径为R、中心角为2?的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为

页脚.

??1)?

解取坐标系如图所示? 则I? 曲线L的参数方程为

x?Rcos?? y?Rsin? (????

?Ly2ds??R2sin2?(?Rsin?)2?(Rcos?)2d?

?? ?R3????sin2?d??R3(??sin? cos?)?

例3 计算曲线积分

??(x2?y2?z2)ds? 其中?为螺旋线x?acost、y?asint、z?kt上相应

于t从0到达2?的一段弧?

解在曲线?上有x2?y2?z2?(a cos t)2?(a sin t)2?(k t)2?a2?k 2t 2? 并且 ds?(?asint)2?(acost)2?k2dt?a2?k2dt? 于是

??(x2?y2?z2)ds??(a2?k2t2)a2?k2dt

02? ?2?a2?k2(3a2?4?2k2)? 3 小结? 用曲线积分解决问题的步骤? (1)建立曲线积分?

(2)写出曲线的参数方程 ( 或直角坐标方程) ? 确定参数的变化围? (3)将曲线积分化为定积分? (4)计算定积分?

§10? 2 对坐标的曲线积分

一、对坐标的曲线积分的概念与性质变力沿曲线所作的功?

设一个质点在xOy面在变力F(x? y)?P(x? y)i?Q(x? y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B? 试求变力F(x? y)所作的功?

用曲线L上的点A?A0? A1? A2? ? ? ?? An?1? An?B把L分成n个小弧段? 设Ak?(xk ? yk)? 有向线段AkAk?1的长度为?sk? 它与x轴的夹角为?k ? 则

页脚.

? .

AkAk?1?{cos?k,sin?k}?sk(k?0? 1? 2? ? ? ?? n?1)? ?显然? 变力F(x? y)沿有向小弧段Ak Ak?1所作的功可以近似为

? F(xk,yk)?AkAk?1?[P(xk,yk)cos?k?Q(xk,yk)sin?k]?sk? 于是? 变力F(x? y)所作的功 W??从而

W??[P(x,y)cos??Q(x,y)sin?]ds?

L这里???(x? y)? {cos?? sin?}是曲线L在点(x? y)处的与曲线方向一致的单位切向量?

把L分成n个小弧段? L1? L2? ? ? ?? Ln? 变力在Li上所作的功近似为?

F(?i? ?i)??si?P(?i? ?i)?xi?Q(?i? ?i)?yi ? 变力在L上所作的功近似为?

n?1?F(xk,yk)?AkAk?1k?1n?1???[P(xk,yk)cos?k?Q(xk,yk)sin?k]?sk?

k?1?[P(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]?

i?1nn 变力在L上所作的功的精确值? W?lim??0?[P(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]?

i?1其中?是各小弧段长度的最大值? 提示?

用?si?{?xi??yi}表示从Li的起点到其终点的的向量? 用?si表示?si的模? 对坐标的曲线积分的定义?

定义设函数f(x? y)在有向光滑曲线L上有界? 把L分成n个有向小弧段L1? L2? ? ? ?? Ln? 小弧段Li的起点为(xi?1? yi?1)? 终点为(xi? yi)? ?xi?xi?xi?1? ?yi?yi?yi?1? (?i? ?)为Li上任意一点? ?为各小弧段长度的最大值?

页脚.

如果极限lim??0?f(?i,?i)?xi总存在? 则称此极限为函数

i?1n f(x? y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分? 记作

?Lf(x,y)dx? 即

lim?f(?i,?i)?xi? ?Lf(x,y)dx???0i?1 如果极限limn??0?f(?i,?i)?yi总存在? 则称此极限为函数

i?1n f(x? y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分? 记作

?Lf(x,y)dy? 即

lim?f(?i,?i)?yi? ?Lf(x,y)dy???0i?1

设L为xOy面上一条光滑有向曲线? {cos?? sin?}是与曲线方向一致的单位切向量? 函数P(x? y)、Q(x? y)在L上有定义? 如果下列二式右端的积分存在? 我们就定义

n?LP(x,y)dx??LP(x,y)cos?ds? ?LQ(x,y)dy??LQ(x,y)sin?ds?

前者称为函数P(x? y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分? 后者称为函数Q(x? y)在有向曲线L上对坐标y的曲线积分? 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分? 定义的推广?

设?为空间一条光滑有向曲线? {cos?? cos?? cos?}是曲线在点(x? y? z)处的与曲线方向一致的单位切向量? 函数P(x? y? z)、Q(x? y? z)、R(x? y? z)在?上有定义? 我们定义(假如各式右端的积分存在)

??P(x,y,z)dx???P(x,y,z)cos?ds? ??Q(x,y,z)dy???Q(x,y,z)cos?ds? ??R(x,y,z)dz???R(x,y,z)cos?ds?

页脚.

lim?f(?i,?i,?i)?xi? ?Lf(x,y,z)dx???0i?1lim?f(?i,?i,?i)?yi? ?Lf(x,y,z)dy???0i?1lim?f(?i,?i,?i)?zi? ?Lf(x,y,z)dz???0i?1对坐标的曲线积分的简写形式?

nnn?LP(x,y)dx??LQ(x,y)dy??LP(x,y)dx?Q(x,y)dy? ??P(x,y,z)dx???Q(x,y,z)dy???R(x,y,z)dz

??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?

对坐标的曲线积分的性质? (1) 如果把L分成L1和L2? 则

?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy?

12 (2) 设L是有向曲线弧? ?L是与L方向相反的有向曲线弧? 则

??LP(x,y)dx?Q(x,y)d???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?

两类曲线积分之间的关系?

设{cos?i? sin?i}为与?si同向的单位向量? 我们注意到{?xi? ?yi}??si? 所以 ?xi?cos?i??si? ?yi?sin?i??si?

lim?f(?i,?i)?xi ?Lf(x,y)dx???0i?1n ?lim??0?f(?i,?i)cos?i?si??Lf(x,y)cos?ds?

i?1nn

lim?f(?i,?i)?yi ?Lf(x,y)dy???0i?1页脚.

?lim??0?f(?i,?i)sin?i?si??Lf(x,y)sin?ds?

i?1n即

?LPdx?Qdy??L[Pcos??Qsin?]ds? ?LA?dr??LA?tds?

或

其中A?{P? Q}? t?{cos?? sin?}为有向曲线弧L上点(x? y)处单位切向量? dr?tds?{dx? dy}? 类似地有或

??Pdx?Qdy?Rdz???[Pcos??Qcos??Rcos?]ds? ??A?dr???A?tds???Atds?

其中A?{P? Q? R}? T?{cos?? cos?? cos?}为有向曲线弧?上点(x? y? z)处单们切向量? dr?Tds ?{dx? dy? dz }? A t为向量A在向量t上的投影?

二、对坐标的曲线积分的计算?

定理? 设P(x? y)、Q(x? y)是定义在光滑有向曲线 L? x??(t)? y??(t)?

上的连续函数? 当参数t单调地由?变到?时? 点M(x? y)从L的起点A沿L运动到终点B? 则讨论? 提示?

?L?LP(x,y)dx??P[?(t),?(t)]??(t)dt?

??Q(x,y)dy??Q[?(t),?(t)]??(t)dt?

???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?？

?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt?

?? 定理? 若P(x? y)是定义在光滑有向曲线 L? x??(t)? y??(t)(??t??)

上的连续函数? L的方向与t的增加方向一致? 则

??LP(x,y)dx??P[?(t),?(t)]??(t)dt?

?页脚.

简要证明? 不妨设???? 对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为{??(t)? ??(t)}? 所以cos????(t)?

22??(t)???(t)从而

?LP(x,y)dx??LP(x,y)cos?ds

??? ??P[?(t),?(t)]??(t)??2(t)???2(t)dt

??2(t)???2(t) ?

??P[?(t),?(t)]??(t)dt?

应注意的问题?

下限a对应于L的起点? 上限? 对应于L的终点? ?不一定小于? ? 讨论?

若空间曲线?由参数方程 x??t)? y =? (t)? z??(t) 给出? 那么曲线积分

??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?？

??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz

如何计算提示? ??? ?{P[?(t),?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t),?(t)]??(t)?R[?(t),?(t),?(t)]??(t)}dt?

其中?对应于?的起点? ?对应于?的终点? 例题? 例1?计算

?Lxydx? 其中L为抛物线y?x上从点A(1? ?1)到点B(1? 1)的一段弧?

解法一? 以x为参数? L分为AO和OB两部分?

AO的方程为y??x? x从1变到0? OB 的方程为y?x? x从0变到1? 因此

?Lxydx??AOxydx??OBxydx

页脚.

??1x(?10x)dx??xxdx?2?0113x2dx?405?

第二种方法? 以y为积分变量? L的方程为x?y2? y从?1变到1? 因此

4?Lxydx???1y2y(y2)?dy?2??1y4dy?5 ?

1 例2? 计算

?Ly2dx?

(1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2 ? (2)从点A(a? 0)沿x轴到点B(?a? 0)的直线段? 解 (1)L 的参数方程为 x?a cos?? y?a sin??

?从0变到??

因此

4a3? 22232ydx?asin?(?asin?)d??a(1?cos?)dcos????L?0?03y2dx??0dx?0?

a?a??(2)L的方程为y?0? x从a变到?a? 因此

?L 例3 计算

?L2xydx?x2dy? (1)抛物线y?x上从O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧? (2)抛物线

x?y2上从O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧? (3)从O(0? 0)到A(1? 0)? 再到R (1? 1)的有向折线OAB ? 解 (1)L? y?x2? x从0变到1? 所以

11?L2xydx?x2dy??(2x?x2?x2?2x)dx?4?x3dx?1?

0011(2)L? x?y2? y从0变到1? 所以

?L2xydx?xdy??0(2y22?y?2y?y)dy?5?y4dy?1 ?

04 (3)OA? y?0? x从0变到1? AB? x?1? y从0变到1?

?L2xydx?x2dy??OA2xydx?x2dy??AB2xydx?x2dy

?01 ?(2x?0?x2?0)dx?(2y?0?1)dy?0?1?1?

?01 例4? 计算

??x3dx?3zy2dy?x2ydz? 其中?是从点A(3? 2? 1)到点B(0? 0? 0)的直线段

AB?

解? 直线AB的参数方程为

页脚.

x?3t? y?2t? x?t? t从1变到0? 所以所以 I?87? 3223[(3t)?3?3t(2t)?2?(3t)?2t]dt?87tdt???1?1400 例5? 设一个质点在M(x? y)处受到力F的作用? F的大小与M到原点O的距离成正比?

2y2xF的方向恒指向原点? 此质点由点A(a? 0)沿椭圆2?2?1按逆时针方向移动到点B(0? b)?

ab求力F所作的功W?

2y2x 例5? 一个质点在力F的作用下从点A(a? 0)沿椭圆2?2?1按逆时针方向移动到点abB(0? b)? F的大小与质点到原点的距离成正比? 方向恒指向原点? 求力F所作的功W?

解? 椭圆的参数方程为x?acost? y?bsint ? t从0变到

? ?? 2 r?OM?xi?yj? F?k?|r|?(?其中k>0是比例常数?

r)??k(xi?yj)? |r|?xdx?ydy? 于是 W??? ?kxdx?kydy??k?A ABB ??k

?02(?a2costsint?b2sintcost)dt

????k(a2?b2)02sintcostdt?k(a2?b2)? 2 三、两类曲线积分之间的联系由定义? 得

?LPdx?Qdy??L(Pcos??Qsin?)ds ?L?L ?{P,Q}?{cos?,sin?}ds?F?dr?

其中F?{P? Q}? T?{cos?? sin?}为有向曲线弧L上点(x? y)处单位切向量? dr?Tds?{dx? dy}?

类似地有

页脚.

??Pdx?Qdy?Rdz???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds ???? ?{P,Q,R}?{cos?,cos?,cos?}ds?F?dr?

其中F?{P? Q? R}? T?{cos?? cos?? cos?}为有向曲线弧?上点(x? y? z)处单们切向量? dr?Tds ?{dx? dy? dz }?

§10?3 格林公式及其应用

一、格林公式单连通与复连通区域?

设D为平面区域? 如果D任一闭曲线所围的部分都属于D? 则称D为平面单连通区域? 否则称为复连通区域?

对平面区域D的边界曲线L? 我们规定L的正向如下? 当观察者沿L的这个方向行走时? D在他近处的那一部分总在他的左边? 区域D的边界曲线L的方向?

定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成? 函数P(x? y)及Q(x? y)在D上具有一阶连续偏导数? 则有

??(D?Q?P?)dxdy??Pdx?Qdy?

L?x?y其中L是D的取正向的边界曲线? 简要证明?

仅就D即是X－型的又是Y－型的区域情形进行证明?

设D?{(x? y)|?1(x)?y??2(x)? a?x?b}? 因为

?P连续? 所以由二重积分的计算法有

?y?Pdxdy?b{?2(x)?P(x,y)dy}dx?b{P[x,?(x)]?P[x,?(x)]}dx?

21???y?a??1(x)?y?aD另一方面? 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有

?LPdx??LPdx??LPdx??aP[x,?1(x)]dx??bP[x,?2(x)]dx

12ba ?{P[x,?1(x)]?P[x,?2(x)]}dx? 因此

页脚.

?ab .

????ydxdy??LPdx?

D?P 设D?{(x? y)|?1(y)?x??2(y)? c?y?d}? 类似地可证

?Q???xdxdy??LQdx?

D由于D即是X－型的又是Y－型的? 所以以上两式同时成立? 两式合并即得

??Q?P???dxdy??Pdx?Qdy? ???L?x?y?D? 应注意的问题?

对复连通区域D? 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分? 且边界的方向对区域D来说都是正向?

设区域D的边界曲线为L? 取P??y? Q?x? 则由格林公式得 21xdy?ydx?

A?dxdy?? 或dxdy?xdy?ydx?????L2?LDD 例1? 椭圆x?a cos? ? y?b sin? 所围成图形的面积A? 分析? 只要

?Q?P?Q??1? 就有??(??P)dxdy???dxdy?A? ?x?y?x?yDD 解? 设D是由椭圆x=acos? ? y=bsin? 所围成的区域? 令P??1y? Q?1x? 则?Q??P?1?1?1?

?x?y2222于是由格林公式? A?1ydx?1xdy?1?ydx?xdy

dxdy?????L222?LD ?12?(absin2??abcos2?)d??1ab2?d???ab? 2?02?0 例2 设L是任意一条分段光滑的闭曲线? 证明

?L2xydx?x2dy?0?

页脚.

证? 令P?2xy? Q?x2? 则

?Q?P??2x?2x?0? ?x?y因此? 由格林公式有

?L22xydx?x2dy????0dxdy?0? (为什么二重积分前有“?”号？ )

D 例3? 计算

??e?ydxdy? 其中D是以O(0? 0)? A(1? 1)? B(0? 1)为顶点的三角形闭区域?

D 分析? 要使

?Q?P?y22??e? 只需P?0? Q?xe?y? ?x?y2 解? 令P?0? Q?xe?y? 则

?Q?P?y2??e? 因此? 由格林公式有 ?x?y22

??e?ydxdy?D2OA?AB?BO1?xe?ydy??xe?ydy??0xe?xdx?2(1?e?1)?

OA12 例4 计算

xdy?ydx?Lx2?y2? 其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线?

L的方向为逆时针方向?

?y?Qy2?x2?P? x22?? 解? 令P?2? ? 则当x?y?0时? 有Q??x(x2?y2)2?yx?y2x2?y2记L 所围成的闭区域为D? 当(0? 0)?D时? 由格林公式得

xdy?ydx?Lx2?y2?0?

当(0? 0)?D时? 在D取一圆周l? x2?y2?r 2(r>0)? 由L及l围成了一个复连通区域D 1? 应用格林公式得

xdy?ydxxdy?ydx?Lx2?y2??lx2?y2?0?

其中l的方向取逆时针方向? 于是

2?r2cos2??r2sin2?xdy?ydxxdy?ydx? ?d??2?? ?Lx2?y2?lx2?y2?02r页脚.

解记L 所围成的闭区域为D? 当(0? 0)?D时? 由格林公式得

xdy?ydx?Q?P?(?Lx2?y2???x??y)dxdy?0? D 当(0? 0)?D时? 在D取一圆周l? x2?y2?r2(r?0)? 由L及l围成了一个复连通区域D1? 应用格林公式得

xdy?ydx?Q?P?(?L?lx2?y2???x??y)dxdy?0? D1即

xdy?ydxxdy?ydx?Lx2?y2??lx2?y2?0?

其中l的方向取顺时针方向?

2?r2cos2??r2sin2?xdy?ydxxdy?ydx于是 ????22??d??2??

Lx2?y2l0x?yr2?y?Qy2?x2?P? x22??分析? 这里P?2? ? 当x?y?0时? 有Q??x(x2?y2)2?yx?y2x2?y2

二、平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关?

设G是一个开区域? P(x? y)、Q(x? y)在区域G具有一阶连续偏导数? 如果对于G任意指定的两个点A、B以及G从点A到点B的任意两条曲线L 1、L 2? 等式

?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy

12恒成立? 就说曲线积分设曲线积分线? 则有因为

?LPdx?Qdy在G与路径无关? 否则说与路径有关?

1和

?LPdx?Qdy在G与路径无关? L

2L 2是G任意两条从点A到点B的曲

?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy?

1页脚.

?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy?0

1212 ?

?LPdx?Qdy??L1?2Pdx?Qdy?0??L1?(L2?)Pdx?Qdy?0?

所以有以下结论? 曲线积分

?LPdx?Qdy在G与路径无关相当于沿G任意

?LPdx?Qdy等于零?

闭曲线C的曲线积分

定理2 设开区域G是一个单连通域? 函数P(x? y)及Q(x? y)在G具有一阶连续偏导数? 则曲线积分

?LPdx?Qdy在G与路径无关（或沿G任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必

要条件是等式

?P??Q ?y?x在G恒成立? 充分性易证? 若

?P??Q? 则?Q??P?0? 由格林公式? 对任意闭曲线L? ?y?x?x?y有

??Q?P?Pdx?Qdy???dxdy?0? ?L????x?y?D? 必要性?

假设存在一点M0?G? 使

?Q?P????0? 不妨设?>0? ?x?y则由

?Q?P?的连续性? 存在M0的一个? 邻域U(M0, ?)? ?x?y?Q?P???? 于是沿邻域U(M0, ?)边界l 的闭曲线积分 ?x?y2使在此邻域有

?Pdx?Qdy?lU(M0,?)??(?Q?P??)dxdy????2?0? ?x?y2页脚.

这与闭曲线积分为零相矛盾? 因此在G 应注意的问题?

?Q?P??0? ?x?y 定理要求? 区域G是单连通区域? 且函数P(x? y)及Q(x? y)在G具有一阶连续偏导数? 如果这两个条件之一不能满足? 那么定理的结论不能保证成立? 破坏函数P、Q及

?P、?Q连续性的点称为奇点? ?y?x 例5 计算

?L2xydx?x2dy? 其中L为抛物线y?x2上从O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧?

解? 因为

?P??Q?2x在整个xOy面都成立?

?y?x所以在整个xOy面? 积分

?L2xydx?x2dy与路径无关?

?L2xydx?x2dy??OA2xydx?x2dy??AB2xydx?x2dy

10 ??12dy?1?

讨论? 设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线? L的方向为逆时针方向? 问

xdy?ydx?Lx2?y2?0是否一定成立？

提示? 这里P??yx在点(0? 0)不连续?

和Q?x2?y2x2?y2?Qy2?x2?222??P? 所以如果(0? 0)不在L所围成的区域? 则结论成时?

?x(x?y)?y因为当x2?y2?0

立? 而当(0? 0)在L所围成的区域时? 结论未必成立?

三、二元函数的全微分求积

曲线积分在G与路径无关? 表明曲线积分的值只与起点从点(x0? y0)与终点(x? y)有关? 如果

(x,y)0?LPdx?Qdy与路径无关? 则把它记为?(x,y)Pdx?Qdy

0页脚.

(x,y) 即

?LPdx?Qdy??(x,y)0(x0,y0)Pdx?Qdy?

若起点(x0? y0)为G的一定点? 终点(x? y)为G的动点? 则 u(x? y)??(x,y)Pdx?Qdy

0为G的的函数?

二元函数u(x? y)的全微分为du(x? y)?ux(x? y)dx?uy(x? y)dy?

表达式P(x? y)dx+Q(x? y)dy与函数的全微分有相同的结构? 但它未必就是某个函数的全微分?

那么在什么条件下表达式P(x? y)dx+Q(x? y)dy是某个二元函数u(x? y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？

定理3 设开区域G是一个单连通域? 函数P(x? y)及Q(x? y)在G具有一阶连续偏导数? 则P(x? y)dx?Q(x? y)dy 在G为某一函数u(x? y)的全微分的充分必要条件是等式

?P??Q ?y?x在G恒成立?

简要证明?

必要性? 假设存在某一函数u(x? y)? 使得 du?P(x? y)dx?Q(x? y)dy? 则有

?P??(?u)??2u? ?Q??(?u)??2u? ?y?y?x?x?y?x?x?y?y?x22?u?P?u??Q连续? 所以

? 因为、

?x?y?y?y?x?x?2u??2u? 即?P??Q?

?y?x?x?y?y?x 充分性? 因为在G

?P??Q? 所以积分P(x,y)dx?Q(x,y)dy

?L?y?x在G与路径无关? 在G从点(x0? y0)到点(x? y)的曲线积分可表示为

页脚.

(x,y)0考虑函数u(x? y)?因为 u(x? y)? ?所以

y?(x,y)P(x,y)dx?Q(x,y)dy?

000?(x,y)P(x,y)dx?Q(x,y)dy

x0(x,y)?yQ(x0,y)dy??xP(x,y)dx?

0?u??yQ(x,y)dy??xP(x,y)dx?P(x,y)?

0?x?x?y0?x?x0?u?Q(x,y)? 从而du ?P(x? y)dx?Q(x? y)dy? 即P(x? y)dx?Q(x? y)dy是某一函

类似地有

?y数的全微分?

求原函数的公式? u(x,y)? u(x,y)? u(x,y)? 例6 验证?

(x,y)0?(x,y)P(x,y)dx?Q(x,y)dy?

0?xP(x,y0)dx??yQ(x,y)dy?

00xy?yy0Q(x0,y)dy??P(x,y)dx?

x0xxdy?ydx在右半平面(x>0)是某个函数的全微分? 并求出一个这样的函数? 22x?y?yx?

? Q?x2?y2x2?y2 解? 这里P? 因为P、Q在右半平面具有一阶连续偏导数? 且有

?Qy2?x2?222??P?

?x(x?y)?y所以在右半平面?

xdy?ydx是某个函数的全微分?

x2?y2 取积分路线为从A(1? 0)到B(x? 0)再到C(x? y)的折线? 则所求函数为 u(x,y)?

问? 为什么(x0? y0)不取(0? 0)?

页脚.

?(1, 0)(x,y)yxdyxdy?ydxy?0?? ?arctan?0x2?y2xx2?y2 .

例6 验证? 在整个xOy面? xy2dx?x2ydy是某个函数的全微分? 并求出一个这样的函数? 解这里P?xy2? Q?x2y?

因为P、Q在整个xOy面具有一阶连续偏导数? 且有

?Q?2xy??P? ?x?y所以在整个xOy面? xy2dx?x2ydy是某个函数的全微分?

取积分路线为从O(0? 0)到A(x? 0)再到B(x? y)的折线? 则所求函数为 u(x,y)?思考与练习?

1?在单连通区域G? 如果P(x? y)和Q(x? y)具有一阶连续偏导数? 且恒有

(x,y)?(0, 0)xydx?x22ydy?0??xydy?x0y22?0yx2y2? ydy?2?Q?P?? 那么 ?x?y(1)在G的曲线积分

?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy是否与路径无关? ?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy是否为零?

?Q?P?? ?x?y(2)在G的闭曲线积分

(3) 在GP(x? y)dx?Q(x? y)dy是否是某一函数u(x? y)的全微分?

2?在区域G除M0点外? 如果P(x? y)和Q(x? y)具有一阶连续偏导数? 且恒有G1是G不含M0的单连通区域? 那么 (1)在G 1的曲线积分

?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy是否与路径无关? ?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy是否为零?

(2)在G 1的闭曲线积分

(3) 在G 1P(x? y)dx?Q(x? y)dy是否是某一函数u(x? y)的全微分? 3? 在单连通区域G? 如果P(x? y)和Q(x? y)具有一阶连续偏导数?

?P??Q? 但?Q??P非常简单? 那么 ?y?x?x?y(1)如何计算G的闭曲线积分? (2)如何计算G的非闭曲线积分? (3)计算

?L(exsiny?2y)dx?(excosy?2)dy? 其中L为逆时针方向的

页脚.

上半圆周(x?a)2?y2?a 2? y?0?

§10? 4 对面积的曲面积分

一、对面积的曲面积分的概念与性质物质曲面的质量问题?

设?为面密度非均匀的物质曲面? 其面密度为?(x? y? z)? 求其质量? 把曲面分成n个小块? ?S1? ?S2 ? ? ? ?? ?Sn (?Si也代表曲面的面积)? 求质量的近似值?

??(?i,?i,?i)?Si((?i? ?i? ?i )是?Si上任意一点)?

i?1nn 取极限求精确值? M?lim??(?i,?i,?i)?Si(?为各小块曲面直径的最大值)?

??0i?1 定义设曲面?是光滑的? 函数f(x? y? z)在?上有界? 把?任意分成n小块? ?S1? ?S2 ? ? ? ?? ?Sn (?Si也代表曲面的面积)? 在?Si上任取一点(?i? ?i? ?i )? 如果当各小块曲面的直径的最大值??0时? 极限lim?f(?i,?i,?i)?Si总存在? 则称此极限为函数f(x? y? z)在曲面?上对

??0i?1n面积的曲面积分或第一类曲面积分? 记作

n??f(x,y,z)dS? 即

lim?f(?i,?i,?i)?Si? ??f(x,y,z)dS???0i?1?其中f(x? y? z)叫做被积函数? ?叫做积分曲面? 对面积的曲面积分的存在性?

我们指出当f(x? y? z)在光滑曲面?上连续时对面积的曲面积分是存在的? 今后总假定f(x? y? z)在?上连续?

根据上述定义面密度为连续函数?(x? y? z)的光滑曲面?的质量M可表示为?(x? y? z)在?上对面积的曲面积分? M???f(x,y,z)dS

?如果?是分片光滑的我们规定函数在?上对面积的曲面积分等于函数在光滑的

各片曲面上对面积的曲面积分之和? 例如设?可分成两片光滑曲面?1及?2(记作???1??2)

页脚.

就规定

?1??2??f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS?

?1?2 对面积的曲面积分的性质? (1)设c 1、c 2为常数? 则

??[c1f(x,y,z)?c2g(x,y,z)]dS?c1??f(x,y,z)dS?c2??g(x,y,z)dS?

??? (2)若曲面?可分成两片光滑曲面?1及?2? 则

??f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS?

??1?2 (3)设在曲面?上f(x? y? z)?g(x? y? z)? 则 (4)

??f(x,y,z)dS???g(x,y,z)dS?

????dS?A? 其中A为曲面?的面积?

? 二、对面积的曲面积分的计算面密度为f(x? y? z)的物质曲面的质量为 M?lim?f(?i,?i,?i)?Si???0i?1n??f(x,y,z)dS?

? 另一方面? 如果?由方程z?z(x? y)给出? ?在xOy面上的投影区域为D ? 那么

2 曲面的面积元素为dA?1?zx(x,y)?z2y(x,y)dxdy?

2质量元素为f[x,y,z(x,y)]dA?f[x,y,z(x,y)]1?zx(x,y)?z2y(x,y)dxdy?

根据元素法? 曲面的质量为 M?y(x,y)dxdy? ??f[x,y,z(x,y)]1?zx2(x,y)?z2D因此

???2f(x,y,z)dS???f[x,y,z(x,y)]1?zx(x,y)?z2y(x,y)dxdy?

D 化曲面积分为二重积分? 设曲面?由方程z?z(x? y)给出? ?在xOy面上的投影区域为Dxy? 函数z?z(x? y)在Dxy上具有连续偏导数? 被积函数f(x? y? z)在?上连续? 则

页脚.

??f(x,y,z)dS???f[x,y,z(x,y)]?Dxy21?zx(x,y)?z2y(x,y)dxdy?

如果积分曲面?的方程为y?y(z? x)? Dzx为?在zOx面上的投影区域? 则函数f(x? y? z)在?上对面积的曲面积分为

??f(x,y,z)dS???f[x,y(z,x),z]?Dzx221?yz(z,x)?yx(z,x)dzdx?

如果积分曲面?的方程为x?x(y? z)? Dyz为?在yOz面上的投影区域? 则函数f(x? y? z)在?上对面积的曲面积分为

??f(x,y,z)dS???f[x(y,z),y,z]?Dyz21?x2y(y,z)?xz(y,z)dydz?

例1 计算曲面积分

1dS? 其中?是球面x2?y2?z2?a2被平面

??z?z?h(0?h?a)截出的顶部?

解 ?的方程为z?a2?x2?y2? Dxy ? x2?y2?a2?h2? 因为 zx??y?x? zy?? 222222a?x?ya?x?yadxdy? 222a?x?y2?z2 dS?1?zxydxdy?所以

1dS?a??z??a2?x2?y2dxdy

?Dxy ?a提示?

?02?d??a2?h20rdr?2?a[?1ln(a2?r2)]a2?h2?2?alna?

0h2a2?r221?zx?z2y2y2xa? ?1?222?222?222a?x?ya?x?ya?x?y 例2 计算边界曲面?

??xyzdS? 其中?是由平面x?0? y?0? z?0及x?y?z?1所围成的四面体的整个

? 解整个边界曲面?在平面x?0、y?0、z?0及x?y?z?1上的部分依次记为?1、?2、?3

页脚.

及?4? 于是

??xyzdS???xyzdS???xyzdS???xyzdS???xyzdS

??1?2?3?4 ?0?0?0???xyzdS????41?x3xy(1?x?y)dxdy

1Dxy ?3xdx提示? ?4? z?1?x?y?

?021?0(1?x)3y(1?x?y)dy?3?x?dx?3?

06120 dS?1?z?x?z?ydxdy?3dxdy?

§10? 5 对坐标的曲面积分

一、对坐标的曲面积分的概念与性质

有向曲面? 通常我们遇到的曲面都是双侧的? 例如由方程z?z(x? y) 表示的曲面分为上侧与下侧? 设n?(cos?? cos?? cos?)为曲面上的法向量? 在曲面的上侧cos??0? 在曲面的下侧cos??0? 闭曲面有侧与外侧之分?

类似地? 如果曲面的方程为y?y(z? x)?则曲面分为左侧与右侧? 在曲面的右侧cos??0? 在曲面的左侧cos??0? 如果曲面的方程为x?x(y? z)? 则曲面分为前侧与后侧? 在曲面的前侧cos ??0? 在曲面的后侧cos??0?

设?是有向曲面? 在?上取一小块曲面?S? 把?S投影到xOy面上得一投影区域? 这投影区域的面积记为(??)xy?假定?S上各点处的法向量与z轴的夹角?的余弦cos?有相同的符号(即cos?都是正的或都是负的)? 我们规定?S在xOy面上的投影(?S)xy为

2cos??0?(??)xy ? (?S)xy???(??)xy cos??0?

?0 cos??0?其中cos??0也就是(??)xy?0的情形? 类似地可以定义?S在yOz面及在zOx面上的投影(?S)yz及(?S)zx?

流向曲面一侧的流量? 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由

v(x? y? z)?(P(x? y? z) ? Q(x? y? z) ? R(x? y? z))

页脚.

给出? ?是速度场中的一片有向曲面? 函数P(x? y? z)、Q(x? y? z)、R(x? y? z)都在?上连续? 求在单位时间流向?指定侧的流体的质量? 即流量??

如果流体流过平面上面积为A的一个闭区域? 且流体在这闭区域上各点处的流速为(常向量)v? 又设n为该平面的单位法向量? 那么在单位时间流过这闭区域的流体组成一个底面积为A、斜高为|v|的斜柱体? 当(v?^n)????时? 这斜柱体的体积为

2 A|v|cos??A v?n? 当(v?^n)?故??Av?n? 当(v?^n)??时? 显然流体通过闭区域A的流向n所指一侧的流量?为零? 而Av?n?0,

2?时? Av?n?0? 这时我们仍把Av?n称为流体通过闭区域A流向n所指一侧的

2流量? 它表示流体通过闭区域A实际上流向?n所指一侧? 且流向?n所指一侧的流量为?Av?n? 因此? 不论(v?^n)为何值? 流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量均为Av?n ? 把曲面?分成n小块? ?S1? ?S2? ? ? ?? ?Sn(?Si同时也代表第i小块曲面的面积)? 在?是光滑的和v是连续的前提下? 只要?Si的直径很小? 我们就可以用?Si上任一点(?i, ?i, ?i )处的流速

vi?v(?i, ?i, ?i )?P(?i, ?i, ?i )i?Q(?i, ?i, ?i )j?R(?i, ?i, ?i )k

代替?Si上其它各点处的流速? 以该点(?i, ?i, ?i )处曲面?的单位法向量 ni?cos?i i?cos?i j? cos?i k

代替?Si上其它各点处的单位法向量? 从而得到通过?Si流向指定侧的流量的近似值为 vi?ni?S i (i?1, 2, ? ? ? ,n) 于是? 通过?流向指定侧的流量 ???vi?ni?Si

i?1nn ??[P(?i,?i,?i)cos?i?Q(?i,?i,?i)cos?i?R(?i,?i,?i)cos?i]?Si?

i?1但 cos?i??Si?(?Si)yz ? cos?i??Si?(?Si)zx ? cos?i??Si?(?Si)xy ? 因此上式可以写成

页脚.

???[P(?i,?i,?i)(?Si)yz?Q(?i,?i,?i)(?Si)zx?R(?i,?i,?i)(?Si)xy]?

i?1n 令??0取上述和的极限? 就得到流量?的精确值? 这样的极限还会在其它问题中遇到? 抽去它们的具体意义? 就得出下列对坐标的曲面积分的概念?

提示? 把?Si看成是一小块平面? 其法线向量为ni? 则通过?Si流向指定侧的流量近似地等于一个斜柱体的体积?

此斜柱体的斜高为|vi|? 高为|vi|cos(vi?^ni)?vi?ni? 体积为vi?ni?Si ? 因为 ni?cos?i i?cos?i j? cos?i k?

vi?v(?i, ?i, ?i )?P(?i, ?i, ?i )i?Q(?i, ?i, ?i )j?R(?i, ?i, ?i )k?

vi?ni?Si?[P(?i, ?i, ?i)cos?i?Q(?i, ?i, ?i)cos?i?R(?i, ?i, ?i)cos?i]?Si ? 而 cos?i??Si?(?Si)yz ? cos?i??Si?(?Si)zx ? cos?i??Si?(?Si)xy ?

所以 vi?ni?Si?P(?i, ?i, ?i)(?Si)yz?Q(?i, ?i, ?i)(?Si)zx?R(?i, ?i, ?i)(?Si)xy ?

对于?上的一个小块?? 显然在?t时间流过?的是一个弯曲的柱体? 它的体积近似于以?为底? 而高为

(|V|?t)cos(V?^n)?V?n ?t

的柱体的体积? V?n?t?S? 这里n?(cos?? cos?? cos?)是?上的单位法向量? ?S表示?的面积? 所以单位时间流向? 指定侧的流体的质量近似于

V?n?S?(P(x? y? z)cos??Q(x? y? z)cos? ?R(x? y? z)cos? )?S ?

如果把曲面?分成n小块?i(i?1? 2? · · · ? n)? 单位时间流向?指定侧的流体的质量近似于 ???{P(xi,yi,zi)cos?i?Q(xi,yi,zi)cos?i?R(xi,yi,zi)cos?i}?S?

i?1n按对面积的曲面积分的定义?

????{P(x,y,z)cos??Q(x,y,z)cos??R(x,y,z)cos?}dS???V?ndS?

?? 舍去流体这个具体的物理容? 我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概念? 定义设?为光滑的有向曲面? 函数R(x? y? z)在?上有界? 把?任意分成n块小曲面?Si(?Si同时也代表第i小块曲面的面积)? 在xOy面上的投影为(?Si)xy? (?i, ?i, ?i )是?Si上任意取定的一点? 如果当各小块曲面的直径的最大值??0时? lim?R(?i,?i,?i)(?Si)xy

??0i?1n页脚.

总存在? 则称此极限为函数R(x? y? z)在有向曲面?上对坐标x、y的曲面积分:? 记作

??R(x,y,z)dxdy?

?即

lim?R(?i,?i,?i)(?Si)xy? ??R(x,y,z)dxdy???0i?1?n类似地有

lim?P(?i,?i,?i)(?Si)yz? ??P(x,y,z)dydz???0i?1?n

lim?Q(?i,?i,?i)(?Si)zx? ??Q(x,y,z)dzdx???0i?1?n其中R(x? y? z)叫做被积函数? ?叫做积分曲面?

定义设?是空间一个光滑的曲面? n?(cos? ? cos? ? cos?)是其上的单位法向量? V(x? y? z)?(P(x? y? z)? Q(x? y? z)? R(x? y? z))是确在?上的向量场? 如果下列各式右端的积分存在? 我们定义并称

??P(x,y,z)dydz???P(x,y,z)cos?dS?

????Q(x,y,z)dzdx???Q(x,y,z)cos?dS?

????R(x,y,z)dxdy???R(x,y,z)cos?dS?

?????P(x,y,z)dydz为P在曲面?上对坐标y、z的曲面积分? ??Q(x,y,z)dzdx为Q在

?曲面?上对坐标z、x的曲面积分?

??R(x,y,z)dxdy为R在曲面?上对坐标y、z的曲面积

?分? 其中P、Q、R叫做被积函数? ?叫做积分曲面? 以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分? 对坐标的曲面积分的存在性? 对坐标的曲面积分的简记形式? 在应用上出现较多的是

??P(x,y,z)dydz???Q(x,y,z)dzdx???R(x,y,z)dxdy

???页脚.

???P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy?

? 流向?指定侧的流量?可表示为 ????P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy?

? 一个规定? 如果?是分片光滑的有向曲面? 我们规定函数在?上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和? 对坐标的曲面积分的性质?

对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质? 例如 (1)如果把?分成? 1和?2? 则

??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy

? ???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?

?1?2(2)设?是有向曲面? ??表示与?取相反侧的有向曲面? 则

????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?

? 这是因为如果n?(cos? ? cos? ? cos?)是?的单位法向量? 则??上的单位法向量是 ?n ?(? cos? ? ?cos? ? ?cos?)?

????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy ???? ??{P(x,y,z)cos??Q(x,y,z)cos??R(x,y,z)cos?}dS ????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy

二、对坐标的曲面积分的计算法

将曲面积分化为二重积分? 设积分曲面?由方程z?z(x? y)给出的? ?在xOy面上的投影区域为Dxy ? 函数z?z(x? y)在Dxy上具有一阶连续偏导数? 被积函数R(x? y? z)在?上连续? 则有

??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy?

?Dxy其中当?取上侧时? 积分前取“?”? 当?取下侧时? 积分前取“?”?

页脚.

这是因为? 按对坐标的曲面积分的定义? 有

lim?R(?i,?i,?i)(?Si)xy? ??R(x,y,z)dxdy???0i?1?n当?取上侧时? cos ??0? 所以(?Si)xy ?(??i)xy? 又因(?i, ?i, ?i)是?上的一点? 故?i?z(?i, ?i)? 从而有

?R(?i,?i,?i)(?Si)xy??R[?i,?i,z(?i,?i)](??i)xy?

i?1i?1nn令??0取上式两端的极限? 就得到

??R(x,y,z)dxdy???R[x,y,z(x,y)]dxdy?

?Dxy同理当?取下侧时? 有

??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy?

?Dxy

因为当?取上侧时? cos??0? (?Si)xy?(??i)xy? 当(?i, ?i, ?i)??时? ?i?z(?i, ?i)? 从而有

lim?R(?i,?i,?i)(?Si)xy ??R(x,y,z)dxdy???0i?1?n ?lim??0?R[?i,?i,z(?i,?i)](??i)xy???R[x,y,z(x,y)]dxdy?

i?1Dxyn同理当?取下侧时? 有

??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy?

?Dxy这是因为n?(cos?? cos? ? cos?)??11? {?zx, ?zy, 1}? cos???22221?zx?zy1?zx?zy2 dS?1?zx?z2ydxdy?

??R(x,y,z)dxdy???R(x,y,z)cos?dS????R[x,y,z(x,y)]dxdy?

??Dxy页脚.

类似地? 如果?由x?x(y? z)给出? 则有

??P(x,y,z)dydz????P[x(y,z),y,z]dydz?

?Dyz 如果?由y?y(z? x)给出? 则有

??Q(x,y,z)dzdx????Q[x,y(z,x),z]dzdx?

?Dzx 应注意的问题? 应注意符号的确定? 例1? 计算曲面积分

??x2dydz?y2dzdx?z2dxdy ? 其中?是长方体?的整个表面的

?外侧? ??((x? y? z) |0?x?a? 0?y?b? 0?z?c )?

解? 把?的上下面分别记为?1和?2? 前后面分别记为?3和?4? 左右面分别记为?5和?6?

?1? z?c (0?x?a? 0?y?b)的上侧? ?2? z?0 (0?x?a? 0?y?b)的下侧? ?3? x?a (0?y?b? 0?z?c)的前侧? ?4? x?0 (0?y?b? 0?z?c)的后侧? ?5? y?0 (0?x?a? 0?z?c)的左侧? ?6? y?b (0?x?a? 0?z?c)的右侧?

除?3、?4外? 其余四片曲面在yO z 面上的投影为零? 因此

??x2dydz???y2dydz???x2dyd???a2dydz???0dydz?abc ?

??3?4DyzDyz类似地可得

??y2dzdx?b2ac? ??z2dxdy?c2ab?

??于是所求曲面积分为(a?b?c)abc? 例2 计算曲面积分

??xyzdxdy? 其中?是球面x?y?z?1外侧在x?0? y?0的部分?

? 解把有向曲面?分成以下两部分? ?1? z?1?x2?y2(x?0? y?0)的上侧? ?2? z??1?x2?y2(x?0? y?0)的下侧?

页脚.

?1和?2在xOy面上的投影区域都是Dxy ? x2?y2?1(x?0? y?0)? 于是

??xyzdxdy???xyzdxdy???xyzdxdy

??1?2 ?Dxy??xy??xy1?x2?y2dxdy???xy(?1?x2?y2)dxdy

Dxy ?2Dxy1?x?ydxdy?2?2212d?r2sin?cos?00??1?r2rdr?2?

15 三、两类曲面积分之间的联系

设积分曲面?由方程z?z(x? y)给出的? ?在xOy面上的投影区域为Dxy ? 函数z?z(x? y)在Dxy上具有一阶连续偏导数? 被积函数R(x? y? z)在?上连续? 如果?取上侧? 则有

??R(x,y,z)dxdy???R[x,y,z(x,y)]dxdy?

?Dxy 另一方面? 因上述有向曲面?的法向量的方向余弦为 cos???zx21?zx?z2y? cos???zy21?zx?z2y? cos??1?

221?zx?zy故由对面积的曲面积分计算公式有

??R(x,y,z)cos?dS???R[x,y,z(x,y)]dxdy?

?Dxy由此可见? 有

??R(x,y,z)dxdy???R(x,y,z)cos?dS?

?? 如果?取下侧? 则有

??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy?

?Dxy但这时cos???1? 因此仍有 221?zx?zy页脚.

??R(x,y,z)dxdy???R(x,y,z)cos?dS?

??类似地可推得

??P(x,y,z)dydz???P(x,y,z)cos?dS?

????Q(x,y,z)dzdx???P(x,y,z)cos?dS?

??综合起来有

??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)dS?

??其中cos ?、cos ?、cos ?是有向曲面?上点(x? y? z)处的法向量的方向余弦? 两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式?

??A?dS???A?ndS? 或??A?dS???AndS?

????其中A?(P? Q? R)? n?(cos ?? cos ?? cos ?)是有向曲面?上点(x? y? z)处的单位法向量? dS?ndS?(dydz? dzdx? dxdy)? 称为有向曲面元? An为向量A在向量n上的投影? 例3 计算曲面积分

??(z2?x)dydz?zdxdy? 其中?是

?曲面z?(x2?y2)介于平面z?0及z?2之间的部分的下侧? 解由两类曲面积分之间的关系? 可得

12??(z2?x)dydz???(z2?x)cos?dS???(z2?x)cos?dxdy?

???cos?在曲面?上?

提示? 曲面上向下的法向量为(x? y? ?1) ) cos??x?1? cos??? dS?1?x2?y2dxdy? 22221?x?y1?x?y故

22(z?x)dydz?zdxdy?[(z?????x)(?x)?z]dxdy ?? ?x2?y2?4??{[1(x2?y2)2?x]?(?x)?1(x2?y2)}dxdy

42页脚.

?2x?y2?4??2?21122[x?(x?y)]dxdy??d??(r2cos2??r2)rdr?8??

00222 解? 由两类曲面积分之间的关系? 可得

??(z2?x)dydz?zdxdy???[(z2?x)cos??zcos?]dS

?? ?x2?y2?4??{[1(x2?y2)2?x]?x?1(x2?y2)?(?1)}dxdy

42x(x2?y2)2dxdy?42 ?2x?y?4??2x?y2?42??[x2?1(x2?y2)]dxdy

2 ?提示?

?02?d??(r2cos2??1r2)rdr?8??

02x(x2?y2)2dxdy?0? 4x2?y2?4??

§10? 6 高斯公式通量与散度

一、高斯公式

定理1设空间闭区域?是由分片光滑的闭曲面?所围成? 函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在?上具有一阶连续偏导数? 则有

???(??P?Q?R??)dv???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy? ?x?y?z?或

???(??P?x??Q?y??R?z)dv???(Pcos??Qcos??Rcos?)dS?

? 简要证明设?是一柱体? 上边界曲面为?1? z?z2(x, y)? 下边界曲面为?2? z?z1(x, y)? 侧面为柱面?3? ?1取下侧? ?2取上侧? ?3取外侧? 根据三重积分的计算法? 有

?????Rdv??zDxy??dxdy??Rdz

z1(x,y)?zz2(x,y)页脚.

?Dxy??{R[x,y,z2(x,y)]?R[x,y,z1(x,y)]}dxdy?

另一方面? 有

??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy?

1?1Dxy2

??R(x,y,z)dxdy???R[x,y,z?2Dxy(x,y)]dxdy?

??R(x,y,z)dxdy?0?

?3以上三式相加? 得

??R(x,y,z)dxdy???{R[x,y,z?Dxy2(x,y)]?R[x,y,z1(x,y)]}dxdy ?

所以

?Rdv?R(x,y,z)dxdy? ????z???? 类似地有

?Pdv?P(x,y,z)dydz? ????x????

?Q????ydv???Q(x,y,z)dzdx?

??把以上三式两端分别相加? 即得高斯公式? 例1 利用高斯公式计算曲面积分

??(x?y)dxdy?(y?z)xdydz? 其中?为柱面x?y?1

?及平面z?0? z?3所围成的空间闭区域?的整个边界曲面的外侧? 解这里P?(y?z)x? Q?0? R?x?y?

?P?y?z? ?Q?0? ?R?0?

?y?x?z由高斯公式? 有

页脚.

??(x?y)dxdy?(y?z)dydz

? ????(y?z)dxdydz????(?sin??z)?d?d?dz

?? ??02?d???d??(?sin??z)dz??9??

00213 例2 计算曲面积分

??(x2cos??y2cos??z2cos?)dS? 其中?为锥面x?y?z介于

?平面z?0及z?h (h>0)之间的部分的下侧? cos?、cos?、cos?是?上点(x, y, z)处的法向量的方向余弦?

解设?1为z?h(x2?y2?h 2)的上侧? 则?与?1一起构成一个闭曲面? 记它们围成的空间闭区域为?? 由高斯公式得

???(x2cos??y2cos??z2cos?)dS

?2x2?y2?h2??dxdy?hx2?y(x?y?z)dz?22x2?y2?h2??dxdy?hx2?y2zdz

?14222(h?x?y)dxdy??h ??2x2?y2?h2提示?

x2?y2?h2??dxdy?hx2?y2(x?y)dz?0?

而

??(x2cos??y2cos??z2cos?)dS???z2dS???h2dxdy??h4?

?1?1x2?y2?h2因此

1?h4??h4??1?h4? 222(xcos??ycos??zcos?)dS???22?提示? 根据被积函数的奇偶性和积分区域的对称性? ? ?

页脚.

例3 设函数u(x, y, z)和v(x, y, z)在闭区域?上具有一阶及二阶连续偏导数? 证明

?vdS?(?u?v??u?v??u?v)dxdydz?

u?vdxdydz?u??????n????x?x?y?y?z?z???其中?是闭区域?的整个边界曲面? 号???v为函数v(x, y, z)沿?的外法线方向的方向导数? 符

?n?????? 称为拉普拉斯算子? 这个公式叫做格林第一公式? ?x2?y2?z2 证? 因为方向导数

?v??vcos???vcos???vcos?? ?n?x?y?z?vdS?u(?vcos???vcos???vcos?)dS u???n???x?y?z??其中cos?、cos?、cos?是?在点(x? y? z)处的外法线向量的方向余弦? 于是曲面积分

??v)cos??(u?v)cos??(u?v)cos?]dS? [(u???x?y?z?利用高斯公式? 即得

??u?ndS????[?x(u?x)??y(u?y)??z(u?z)]dxdydz

???v??v??v??v ??u?v??u?v??u?v)dxdydz? u?vdxdydz?(???????x?x?y?y?z?z??将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式? 二、通量与散度

高斯公式的物理意义? 将高斯公式改写成

?P??Q??R)dv?(Pcos??Qcos??Rcos?)dS (????x?y?z?????P??Q??R)dv?vdS? (????x?y?z??n??页脚.

其中vn?v?n?Pcos? ?Qcos? ?Rcos?? n?{cos? ? cos? ? cos?}是?在点(x? y? z)处的单位法向量? 公式的右端可解释为单位时间离开闭区域?的流体的总质量? 左端可解释为分布在?的源头在单位时间所产生的流体的总质量? 散度?

设?的体积为V? 由高斯公式得

1?P??Q??R)dv?1vdS?

(V????x?y?zV??n??其左端表示?源头在单位时间单位体积所产生的流体质量的平均值? 由积分中值定理得 (?P??Q??R)|1(?,?,?)???vndS? ?x?y?zV? 令?缩向一点M(x? y? z)得

?P??Q??R?lim1vdS?

?x?y?z??MV??n?上式左端称为v在点M的散度? 记为divv? 即 divv??P??Q??R?

?x?y?z 其左端表示单位时间单位体积分所产生的流体质量? 一般地? 设某向量场由

A(x? y? z)?P(x? y? z)i?Q(x? y? z)j?R(x? y? z)k

给出? 其中P? Q? R具有一阶连续偏导数? ?是场的一片有向曲面? n是?上点(x? y? z)处的单位法向量? 则

??A?ndS叫做向量场

?A通过曲面?向着指定侧的通量(或流量)? 而

?P??Q??R叫做向量场A的散度? 记作div A? 即 ?x?y?z divA??P??Q??R? ?x?y?z 高斯公式的另一形式?

页脚.

???divAdv???A?ndS? 或???divAdv???AndS?

????其中?是空间闭区域?的边界曲面? 而 An?A?n?Pcos??Qcos??Rcos? 是向量A在曲面?的外侧法向量上的投影?

§10? 7 斯托克斯公式环流量与旋度一、斯托克斯公式

定理1 设?为分段光滑的空间有向闭曲线? ?是以?为边界的分片光滑的有向曲面? ?的正向与? 的侧符合右手规则? 函数P(x? y? z)、Q(x? y? z)、R(x? y? z)在曲面?(连同边界)上具有一阶连续偏导数? 则有

?R??Q)dydz?(?P??R)dzdx?(?Q??P)dxdy(??Pdx?Qdy?Rdz? ???y?z?z?x?x?y?? 记忆方式?

dydzdzdxdxdy????Pdx?Qdy?Rdz?

???x?y?z???PQRcos?cos?cos????dS?Pdx?Qdy?Rdz?

或 ????x?y?z??PQR其中n?(cos? ? cos? ? cos?)为有向曲面?的单位法向量?

讨论? 如果?是xOy面上的一块平面闭区域? 斯托克斯公式将变成什么?

例1 利用斯托克斯公式计算曲线积分zdx?xdy?ydz? 其中?为平面x?y?z?1被三

??个坐标面所截成的三角形的整个边界? 它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则?

解按斯托克斯公式? 有

??zdx?xdy?ydz???dydz?dzdx?dxdy?

?页脚.

由于?的法向量的三个方向余弦都为正? 又由于对称性? 上式右端等于3Dxy??d??

其中Dxy为xOy 面上由直线x?y?1及两条坐标轴围成的三角形闭区域? 因此

??zdx?xdy?ydz?2?

3 解设?为闭曲线?所围成的三角形平面? ?在yOz面、zOx面和xOy面上的投影区域分别为Dyz、Dzx和Dxy ? 按斯托克斯公式? 有

dydzdzdxdxdy???

?zdx?xdy?ydz????x?y?z??zxy ???dydz?dzdx?dxdy???dydz???dzdx???dxdy?3??dxdy ?2?

?3DyzDzxDxyDxy 例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分

I?(y2?z2)dx?(z2?x2)dy?(x2?y2)dz ?

??其中?是用平面x?y?z?3截立方体? 0?x?1? 0?y?1? 0?z?1的表面所得的截痕? 若从x轴23的上侧被?所围成的部分? ?的单位法向量n?1(1, 1, 1)? 23的正向看去取逆时针方向? 解取?为平面x?y?z?即cos??cos??cos??1? 按斯托克斯公式? 有 3 I????111333???dS??4(x?y?z)dS? ?x?y?z3???y2?x2z2?x2x2?y2 ??4?3dS??233dxdy? ????23?Dxy其中Dxy为?在xOy平面上的投影区域? 于是

页脚.

I??6Dxy3??9?

dxdy??6???42dydzdzdxdxdy????2(y?z)dydz?(x?z)dzdx?(x?y)dxdy

I???????x?y?z?2?y?z2z2?x2x2?y2cos?cos?cos??????4(x?y?z)?

提示 ? dS?12?12?12dxdy?

?x?y?z3222222y?xz?xx?y I??4(x?y?z)dS??4?3dS9?

??233dxdy??6dxdy??????2??23??3??DDxyxy 二、环流量与旋度

旋度? 向量场A?(P(x? y? z)? Q(x? y? z)? R(x? y? z))所确定的向量场 (?Q?P?R?Q?P?R?)i?(?)j?(?)k ?y?z?z?x?x?y称为向量场A的旋度? 记为rotA? 即 rotA?(?R??Q)i?(?P??R)j?(?Q??P)k?

?y?z?z?x?x?yijk????

旋度的记忆法? rotA??x?y?zPQR斯托克斯公式的另一形式?

??rotA?ndS??A??ds? 或??(rotA)ndS??A?ds

????其中n是曲面?上点(x? y? z)处的单位法向量? ?是?的正向边界曲线?上点(x? y? z)处的单位切向量?