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2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书:第二章-6-第6讲-对数与对数函数

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第6讲 对数与对数函数

1.对数 概念 如果a=N(a>0,a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN.其中a叫做对数的底数,N叫做真数 底数的限制:a>0,且a≠1 对数式与指数式的互化: xax=N?logaN=x 性质 负数和零没有对数 1的对数是零:loga1=0 底数的对数是1:logaa=1 对数恒等式:alogaN=N loga(M·N)=logaM+logaN 运算性质 loga=logaM-logaN logaM=nlogaM(n∈R) logcb公式:logab= logca换底公式 (a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0) na>0,且a≠1, M>0, N>0 MNn1n推广:logamb=logab;logab= mlogba2.对数函数的图象与性质 a>1 01时,y>0 当0

当x>1时,y<0 当00 在(0,+∞)上是减函数 3.对数函数的变化特征

在同一平面直角坐标系中,分别作出对数函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx(a>1,b>1,0<c<1,0<d<1)的图象,如图所示.

作出直线y=1,分别与四个图象自左向右交于点A(c,1),B(d,1),C(a,1),D(b,1),得到底数的大小关系是:b>a>1>d>c>0.根据直线x=1右侧的图象,单调性相同时也可以利用口诀:“底大图低”来记忆.

4.反函数

指数函数y=a与对数函数y=logax互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.

[疑误辨析]

判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)loga(MN)=logaM+logaN.( ) (2)logax·logay=loga(x+y).( )

(3)函数y=log2x及y=log13x都是对数函数.( )

3

x(4)对数函数y=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.( ) 1+x(5)函数y=ln 与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.( )

1-x?1?(6)对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),?,-1?,a?

?

函数图象只经过第一、四象限.( )

答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]

1.(必修1P68练习T4改编)(log29)·(log34)=________. lg 9lg 42lg 32lg 2

解析:(log29)·(log34)=×=×=4.

lg 2lg 3lg 2lg 3答案:4

2.(必修1P73探究改编)若函数y=f(x)是函数y=2的反函数,则f(2)=________. 解析:由题意知f(x)=log2x, 所以f(2)=log22=1. 答案:1

2

x3.(必修1P71表格改编)函数y=loga(4-x)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过点________. 解析:当4-x=1即x=3时,y=loga1+1=1. 所以函数的图象恒过点(3,1). 答案:(3,1)

111

4.(必修1P82A组T6改编)已知a=2-,b=log2,c=log1,则a,b,c的大小关

3332

系为________.

1

解析:因为01.所以c>a>b.

32答案:c>a>b [易错纠偏]

(1)对数函数图象的特征不熟致误; (2)忽视对底数的讨论致误; (3)忽视对数函数的定义域致误.

1.已知a>0,a≠1,函数y=a与y=loga(-x)的图象可能是________.(填序号)

x

解析:函数y=loga(-x)的图象与y=logax的图象关于y轴对称,符合条件的只有②. 答案:②

2.函数y=logax(a>0,a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a=________. 解析:分两种情况讨论:①当a>1时,有loga4-loga2=1,解得a=2;②当0

有loga2-loga4=1,解得a=.所以a=2或.

22

1

答案:2或 23.函数y=

log2(2x-1)的定义域是________.

3

解析:由log2(2x-1)≥0,得0<2x-1≤1.

3

1

所以

2所以函数y=?1?log2(2x-1)的定义域是?,1?. ?2?3

?1?答案:?,1?

?2?

3

对数式的化简与求值

(1)(2020·杭州市七校联考)计算:log2

(2)若a=log43,则2+2=________. 【解析】 (1)log2

1

11

=log22-=-;

222

a-a12

=______,2log23+log43=________.

1

1

2log23+log43=2log23+log23=2log2(3·32)=33.

2

1

(2)因为a=log43=log223=log23=log23,

2所以2+2=2log23+2-log23 =3+2log2

3 3

3 3

a-a=3+=

43

. 3

143

【答案】 (1)- 33 (2)

23

对数运算的一般思路

(1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数的运算性质化简合并.

(2)合:将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.

1

1.计算:2log510+log5=________,2log43=________.

4

11?21?解析:2log510+log5=log5?10×?=2,因为log43=log23=log23,所以2log43=

4?42?2log23=3.

答案:2

3

2

2

2.2(lg2)+lg 2·lg 5+(lg 2)-lg 2+1=________.

4

解析:原式=2(lg 2)+lg 2·lg 5+(1-lg 2) =2(lg 2)+2lg 2·lg 5+1-lg 2 =2lg 2(lg 2+lg 5)+1-lg 2 =lg 2+1-lg 2=1. 答案:1

对数函数的图象及应用

(1)函数y=2log4(1-x)的图象大致是( )

2

2

(2)函数y=loga(x+4)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线+=-1上,且m>0,n>0,则3m+n的最小值为( )

A.13 C.11+62

B.16 D.28

xymn【解析】 (1)函数y=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A,B;又函数y=2log4(1-x)在定义域内单调递减,排除D.

(2)函数y=loga(x+4)-1(a>0,a≠1)的图象恒过A(-3,-1),

xy-3-131

由点A在直线+=-1上可得,+=-1,即+=1,

mnmnmn?31??nm?故3m+n=(3m+n)×?+?=10+3?+?,

?mn?

nmmn?mn?

因为m>0,n>0,所以+≥2

nmnm×=2(当且仅当=,即m=n时取等号), mnmn?nm?故3m+n=10+3?+?≥10+3×2=16,故选B.

?mn?

【答案】 (1)C (2)B

利用对数函数的图象可求解的两类热点问题

(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解.

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.

5

2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书:第二章-6-第6讲-对数与对数函数

第6讲对数与对数函数1.对数概念如果a=N(a>0,a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN.其中a叫做对数的底数,N叫做真数底数的限制:a>0,且a≠1对数式与指数式的互化:xax=N?logaN=x性质负数和零没有对数1的对数是零:loga1=0底数的对数是1:logaa=1对数恒等式:alogaN=
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