【金识源】（3年高考2年模拟1年原创）最新2013版高考数学 专题06 不
等式（解析版）
【考点定位】2014考纲解读和近几年考点分布 考纲原文：
（1）不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景. （2）一元二次不等式① 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. ② 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.③ 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题① 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. ② 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. ③ 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
（4）基本不等式： ① 了解基本不等式的证明过程.② 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 考纲解读：
不等式的考查主要以中档题为主，以选填题为主；不等式的性质常与简易逻辑结合考查；不等式的解法主要以一元二次不等式为主，兼顾其它（如简单的分式不等式、绝对值不等式、指对数不等式、与分段函数有关的不等式等），常与集合（选填题）、导数（解答题中对参数的分类讨论）结合；线性规划问题难度不大；基本不等式求最值是重点，要加强训练；不等式的恒成立也应当重视。 近几年考点分布
从近几年的高考试题来看，对不等式重点考查的有四种题型：解不等式、证明不等式、不等式的应用、不等式的综合性问题。这些不等式试题主要体现了等价转化、函数与方程、分类讨论等数学思想． 随着以培养创新精神和实践能力为重点的素质教育的深入发展，近年来高考命题越来越关注开放性、探索性等创新型问题，尤其是与函数、导数、数列综合的不等式证明问题以及涉及不等式的应用题等。考查的内容及其难度主要以有以下几点：1、不等式的性质、基本不等式和绝对值不等式的考查，大多出现在选择题或填空题中，一般属于容易题或中档题。因此，关于这一部分的知识，重在理解并深刻记忆基本公式. 2、含参的不等式问题是近几年考的较多的一种题型，特别是不等式恒成立问题中参数取值范围的求法。3、不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系，通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解析几何、数列的综合问题的形式出现，尤其是以
1
导数或向量为背景的导数（或向量）、不等式、函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题。问题多属于中档题甚至是难题，对不等式的知识，方法与技巧要求较高。 【考点pk】名师考点透析
考点一、不等关系与不等式
【名师点睛】通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等（组）的现实背景；了解不等式的有关概念及其分类，掌握不等式的性质及其应用。养成推理必有依据的良好习惯，不要想当然，不要错漏不等式性质使用的条件，如a?b?0，n?N??an?bn中，注意后面大于０的条件，出题者往往就在这里出一些似是而非的题目来迷惑考生．
【试题演练】
1.已知a,b为非零实数，且a?b，则下列命题成立的是( ) A、a?b B、ab?ab C、
222211ba D、? ?22ababab【名师点睛】会从实际情况中抽象出一元二次不等式的模型，了解一元二次不等式与函数方程的联系；会解一元二次不等式，会由一元二次不等式的解求原不等式；用同解变形解不等式，分类解不等式；对解含参的不等式，对参数进行讨论；注意数形结合，会通过函数图象来解不等式． （1）用图象法解一元二次不等式
教材中在研究一元二次不等式的解法时，是结合二次函数的图象，利用对应的一元二次方程的解得出的，所以我们学习一元二次不等式的解法时，应从二次函数图象出发加以理解． （2）弄清一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系
二次函数y?ax2?bx?c(a?0)是研究自变量x与函数值y之间的对应关系，一元二次方程的解就是自变量为何值时，函数值y?0的这一情况；而一元二次不等式的解集是自变量变化过程中，何时函数值y?0（y≥0）或y?0（y≤0）的情况．一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的解对研究二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的函数值的变化是十分重要的，因为方程的两根x1，x2是函数值由正变
2
负或由负变为正的分界点，也是不等式解的区间的端点．学习过程中，只有搞清三者之间的联系，才能正确认识与理解一元二次不等式的解法．
【试题演练】 2．不等式2x2?2x?4?1的解集为 ． 23．已知集合A??x|x2?5x?4≤0?，B??x|x2?2ax?a?2≤0?，若B?A，求实数a的取值范围．
?18?综上可知a的取值范围是??1，?．
7??点评：本题是一元二次不等式与集合结合的综合题，考查含参数一元二次不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，分类时做到不遗漏。
考点三、基本不等式
【名师点睛】了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题，理解用综合法、分析法、比较法证明不等式。利用基本不等式可以求函数或代数式的最值问题：
3
（1）当a，b都为正数，且ab为定值时，有a?b≥2ab（定值），当且仅当a?b时，等号成立，此时a?b有最小值；
(a?b)2（2）当a，b都为正数，且a?b为定值时，有ab≤（定值），当且仅当a?b时，等
4号成立，此时ab有最大值．创设基本不等式使用的条件，合理拆分项或配凑因式是经常用的解题技巧，而拆与凑的过程中，一要考虑定理使用的条件（两数都为正）；二要考虑必须使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件（当且仅当a=b时，等号成立），它具有一定的灵活性和变形技巧，高考中常被设计为一个难点．
【试题演练】
4．已知x，y?R+，且x?4y?1，则x?y的最大值是 ．
【名师点睛】对于线性规划问题主要是作图，然后画图虚实要分，准确利用平移进行求解有关的最值。该类试题也有逆向问题，含有参数问题的求解运用，需要灵活运用。
?y?2x?5．已知实数x、y满足?y??2x 则目标函数z=x-2y的最小值是_______.
?x?3?【答案】－9
【名师点睛】掌握绝对值不等式｜x｜＜a，｜x｜＞a（a＞0）的解法，了解绝对值不等式与其它内容的综合。高考多以选择、填空题为主，有时与充分必要条件相结合来考查，难度不大。
【试题演练】
4
6．不等式x?x?2的解集为( )
（Ａ）??1,2? （Ｂ）??1,1? （Ｃ）??2,1? （Ｄ）??2,2?
2【名师点睛】用不等式的性质、基本不等式、一元二次不等式等内容解决一些实际问题，如求最值，证明不等式等。不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法。
（1）比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证；
（2）综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野。不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等。换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性。放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查。有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法. 凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.
【试题演练】
7.如图，某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为要求框架围成的总x,y(单位:米)的矩形,上部是斜边长为x的等腰直角三角形，面积为8平方米.
（Ⅰ）求x,y的关系式，并求x的取值范围；
5
【金识源】(3年高考2年模拟1年原创)最新2013版高考数学 专题06 不等式(解析版)
