梦想不会辜负每一个努力的人 第一章 集合与简易逻辑
一、基础知识
定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x在集合A中，称x属于A，记为x?A，否则称x不属于A，记作x?A。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用?来表示。集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，{xx?0}分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为A?B，例如N?Z。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。
定义3 交集，A?B?{xx?A且x?B}. 定义4 并集，A?B?{xx?A或x?B}.
定义5 补集，若A?I,则C1A?{xx?I,且x?A}称为A在I中的补集。 定义6 差集，A\\B?{xx?A,且x?B}。
定义7 集合{xa?x?b,x?R,a?b}记作开区间(a,b)，集合
{xa?x?b,x?R,a?b}记作闭区间[a,b]，R记作(??,??).
定理1 集合的性质：对任意集合A，B，C，有：
（1）A?(B?C)?(A?B)?(A?C); （2）A?(B?C)?(A?B)?(A?C)； （3）C1A?C1B?C1(A?B); （4）C1A?C1B?C1(A?B). 【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。
（1）若x?A?(B?C)，则x?A，且x?B或x?C，所以x?(A?B)或x?(A?C)，即x?(A?B)?(A?C)；反之，x?(A?B)?(A?C)，则x?(A?B)或x?(A?C)，即x?A且x?B或x?C，即x?A且x?(B?C)，即x?A?(B?C).
（3）若x?C1A?C1B，则x?C1A或x?C1B，所以x?A或x?B，所以x?(A?B)，又x?I，所以x?C1(A?B)，即C1A?C1B?C1(A?B)，反之也有
C1(A?B)?C1A?C1B.
定理2 加法原理：做一件事有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法，…，第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有
N?m1?m2???mn种不同的方法。
定理3 乘法原理：做一件事分n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，…，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有N?m1?m2???mn种不同的方法。
二、方法与例题
1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。 例1 设M?{aa?x?y,x,y?Z}，求证： （1）2k?1?M,(k?Z)； （2）4k?2?M,(k?Z)；
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22梦想不会辜负每一个努力的人 （3）若p?M,q?M，则pq?M.
[证明]（1）因为k,k?1?Z，且2k?1?k?(k?1)，所以2k?1?M.
（2）假设4k?2?M(k?Z)，则存在x,y?Z，使4k?2?x?y，由于x?y和x?y有相同的奇偶性，所以x?y?(x?y)(x?y)是奇数或4的倍数，不可能等于4k?2，假设不成立，所以4k?2?M.
（3）设p?x?y,q?a?b,x,y,a,b?Z，则pq?(x?y)(a?b)
22222222222222?a2a2?y2b2?x2b2?y2a2?(xa?yb)2?(xb?ya)2?M （因为xa?ya?Z,xb?ya?Z）。
2．利用子集的定义证明集合相等，先证A?B，再证B?A，则A=B。
例2 设A，B是两个集合，又设集合M满足
。 A?M?B?M?A?B,A?B?M?A?B，求集合M（用A，B表示）
【解】先证(A?B)?M，若x?(A?B)，因为A?M?A?B，所以x?A?M,x?M，所以(A?B)?M；
再证M?(A?B)，若x?M，则x?A?B?M?A?B.1）若x?A，则
x?A?M?A?B；2）若x?B，则x?B?M?A?B。所以M?(A?B). 综上，M?A?B. 3．分类讨论思想的应用。
例3 A?{xx2?3x?2?0},B?{xx2?ax?a?1?0},C?{xx2?mx?2?0}，若
A?B?A,A?C?C，求a,m.
2【解】依题设，A?{1,2}，再由x?ax?a?1?0解得x?a?1或x?1，
因为A?B?A，所以B?A，所以a?1?A，所以a?1?1或2，所以a?2或3。
2因为A?C?C，所以C?A，若C??，则??m?8?0，即?22?m?22，若C??，则1?C或2?C，解得m?3.
综上所述，a?2或a?3；m?3或?22?m?22。
4．计数原理的应用。
例4 集合A，B，C是I={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若A?B?I，求有序集合对（A，B）的个数；（2）求I的非空真子集的个数。 【解】（1）集合I可划分为三个不相交的子集；A\\B，B\\A，A?B,I中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个。
（2）I的子集分三类：空集，非空真子集，集合I本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有25．配对方法。
10?1024个，非空真子集有1022个。
例5 给定集合I?{1,2,3,?,n}的k个子集：A1,A2,?,Ak，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求k的值。 【解】将I的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得2n?1对，每一对不能同在这
k个子集中，因此，k?2n?1；其次，每一对中必有一个在这k个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C1A与A，并设A?A1??，则A1?C1A，从而可以在k个子集中再
n?1n?1添加C1A，与已知矛盾，所以k?2。综上，k?2。
6．竞赛常用方法与例问题。
定理4 容斥原理；用A表示集合A的元素个数，则A?B?A?B?A?B,
需要xy此结论可以推A?B?C?A?B?C?A?B?A?C?B?C?A?B?C，
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梦想不会辜负每一个努力的人 广到n个集合的情况，即
?
?Ai?1ni??Ai??Ai?Aj?i?1i?jn1?i?j?k?n?Ai?Aj?Ak???(?1)n?1?Ai?1ni.
定义8 集合的划分：若A1?A2???An?I，且Ai?Aj??(1?i,j?n,i?j)，则这些子集的全集叫I的一个n-划分。
定理5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。
定理6 抽屉原理：将mn?1个元素放入n(n?1)个抽屉，必有一个抽屉放有不少于m?1个元素，也必有一个抽屉放有不多于m个元素；将无穷多个元素放入n个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。
例6 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数。
【解】 记I?{1,2,3,?,100},A?{x1?x?100,且x能被2整除（记为2x）}，
B?{x1?x?100,3x},C?{x1?x?100,5x}，由容斥原理，
?100??100?A?B?C?A?B?C?A?B?B?C?C?A?A?B?C????????2??3??100??100??100??100??100??????????74，所以不能被2，3，5整除的数有???????5??6??10??15??30?I?A?B?C?26个。
例7 S是集合{1，2，…，2004}的子集，S中的任意两个数的差不等于4或7，问S中最多含
有多少个元素？
【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S至多含有其中5个数。又因为2004=182×11+2，所以S一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当
S?{rr?11k?t,t?1,2,4,7,10,r?2004,k?N}时，恰有S?912，且S满足题目条件，
所以最少含有912个元素。
例8 求所有自然数n(n?2)，使得存在实数a1,a2,?,an满足：
n(n?1)}. 2【解】 当n?2时，a1?0,a2?1；当n?3时，a1?0,a2?1,a3?3；当n?4时， {ai?aj}1?i?j?n}?{1,2,?,a1?0,a2?2,a3?5,a4?1。下证当n?5时，不存在a1,a2,?,an满足条件。
n(n?1). 2所以必存在某两个下标i?j，使得ai?aj?an?1，所以an?1?an?1?a1?an?1或
令0?a1?a2???an，则an?an?1?an?a2，即a2?1，所以an?（ⅰ）若an?n(n?1)n(n?1),an?1?an?1或an?，a2?1。 22n(n?1),an?1?an?1，考虑an?2，有an?2?an?2或an?2?an?a2，2即a2?2，设an?2?an?2，则an?1?an?2?an?an?1，导致矛盾，故只有a2?2.
考虑an?3，有an?3?an?2或an?3?an?a3，即a3?3，设an?3?an?2，则
an?1?an?2?2?a2?a0，推出矛盾，设a3?3，则an?an?1?1?a3?a2，又推出矛盾，
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高中数学竞赛标准讲义：第一章：集合与简易逻辑
