构造函数证明不等式的八种方法

构造函数证明不等式的八种方法

一、移项法构造函数

例：1、已知函数f(x)?ln(x?1)?x，求证：当x??1时，但有1?

2、已知函数f(x)?ae?x1?ln(x?1)?x 1?x12x （1）若f(x)在R上为增函数，求a的取值范围。 2 （2）若a=1，求证：x?0时，f(x)?1?x

二、作差法构造函数证明

1例：1、已知函数f(x)?x2?lnx，求证：在区间(1,??)上，函数f(x)的图象在函数

22g(x)?x3的图象下方。

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思想：抓住常规基本函数，利用函数草图分析问题

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2、已知函数f(x)?n?lnx的图象在点P(m,f(x))处的切线方程为y=x，设

n（1）求证：当x?1时，g(x)?0恒成立；（2）试讨论关于x的方g(x)?mx??2lnx，

xn程mx??g(x)?x3?2ex2?tx根的个数。

x

3、换元法构造函数证明

例：1、证明：对任意的正整数n，不等式ln(?1)?

2、证明：对任意的正整n，不等式ln(?1)?

3、已知函数f(x)?ln(ax?1)?x?x?ax，（1）若

321n11?，都成立。 n2n31n11?3都成立。 2nn2为y?f(x)的极值点，求实数a3的值；（2）若y?f(x)在[1,??)上增函数，求实数a的取值范围。（3）若a=-1时，方程

f(1?x)?(1?x)3?b有实根，求实数b的取值范围。 x- 2 -

4、从条件特征入手构造函数证明

例1 若函数y?f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)??f(x)恒成立，且常数a,b满足

'a?b，求证：af(a)?bf(b)

5、主元法构造函数

例1.已知函数f(x)?ln(1?x)?x，g(x)?xlnx，（1）求函数f(x)的最大值；（2）设

0?a?b，证明：0?g(a)?g(b)?2g(

a?b)?(b?a)ln2 26、构造二阶导数函数证明导数的单调性

例1：已知函数f(x)?ae?x12（1）若f(x)在R上为增函数，求a的取值范围； x，2 （2）若a=1，求证：x?0时，f(x)?1?x

7、对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）

例1：证明当x?0时，(1?x)1?1x?e1?x2

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