专题07 导数有关的构造函数方法
一．知识点
基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数
①(C)′＝________(C为常数); ②(x)′＝________； 1?
③(x2)′＝________； ④??x?′＝________； ⑤(x)′＝________． (2)初等函数的导数公式
①(xn)′＝________； ②(sin x)′＝__________； ③(cos x)′＝________； ④(ex)′＝________； ⑤(ax)′＝___________； ⑥(ln x)′＝________；
⑦(logax)′＝__________． 5．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝________________________； (2)[f(x)·g(x)]′＝_________________________；
?f（x）?′＝____________________________． (3)???g（x）?
6．复合函数的导数
(1)对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这两个函数(函数y＝f(u)和u＝g(x))的复合函数为y＝f(g(x))．
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为___________________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 二．题型分析 1.构造多项式函数 2.构造三角函数型
3.构造e形式的函数 4.构造成积的形式
x5.与lnx有关的构造 6.构造成商的形式
7.对称问题
（一）构造多项式函数
例1．已知函数f?x??x?R?满足f?l??1，且f?x?的导函数f'?x??A.C.【答案】D
B.?x|x??1? D.?x|x?1?
1x1，则f?x???的解集为（ ） 222考点：函数的单调性与导数的关系.
【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与函数的导数之间的关系，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据题设条件，构造新函数F?x?，利用新函数的性质是解答问题的关键，属于中档试题.
练习1.设函数f(x)在R上存在导函数f'(x)，对于任意的实数x，都有
，当
x?(??,0)时，.若
，则实数m的取值范围是（ ）
A．[?,??) B．[?,??) C．[?1,??) D．[?2,??) 【答案】A 【解析】∵
，设
，则
，∴g(x)为奇函
1232数，又，∴g(x)在(??,0)上是减函数，从而在R上是减函数，又等价于
，即
，
∴m?1??m，解得m??1． 2考点：导数在函数单调性中的应用.
【思路点睛】因为，设，则，可得g(x)为奇函数，又
数的奇偶性和单调性可得练习2.设奇函数
在上存在导数
，得g(x)在(??,0)上是减函数，从而在R上是减函数，在根据函
，由此即可求出结果. ,且在
上
,若
,则实
数的取值范围为（ ） A．C．
B． D．
【答案】B
【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性及其应用，其中解答中涉及到利用导数求函数的单调性、利用导数研究函数的极值、以及函数的奇偶性的判定等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归的思想方法，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，解答中得出函数的奇函数和函数的单调性是解答的关键. 练习3.设函数f(x)在R上存在导函数f?(x)，对任意x?R，都有
，且x?(0,??)时，
f?(x)?x，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．?1,??? B．???,1? C．???,2? D．?2,???
【答案】B
【解析】令，则，则，
得g(x)为R上的奇函数．∵x?0时，
及g(x)为奇函数，知g(x)在(??,??)为增函数，又
，故g(x)在(0,??)单调递增，再结合g(0)?0
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