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2011年高考数学压轴题（三）
1．（本小题满分13分）
x2y2 如图，已知双曲线C：2?2?1(a?0，b?0)的右准线l1与一条
ab渐近线l2交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.
?? （I）求证：OM?MF；
?6 （II）若|MF|?1且双曲线C的离心率e?，求双曲线C的方程；
2 （III）在（II）的条件下，直线l3过点A（0，1）与双曲线C右支交于
??不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足AP??AQ，试判断?的范围，
并用代数方法给出证明.
a2b解：（I）?右准线l1：x?，渐近线l2：y?x
ca?a2aba2ab222，)，?F(c，0)，c?a?b，?OM?(，) ?M(cccc??a2b2a2b2???2?0?OM?MF ?OM?MF? ……3分 c2c6b2，??e2?1?，?a2?2b2 （II）?e?2a2x2?y2?1 ?双曲线C的方程为： ……7分 2 （III）由题意可得0???1 ……8分 证明：设l3：y?kx?1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)
?x2?2y2?222 由?得(1?2k)x?4kx?4?0
?y?kx?1 ?l3与双曲线C右支交于不同的两点P、Q
??1?k???? ?AP??AQ，?(x1，y1?1)??(x2，y2?1)，得x1??x2
??的取值范围是（0，1） ……13分
2．（本小题满分13分）
2 2 ……11分
(x?0)?0已知函数f(x)??，
n[x?(n?1)]?f(n?1)(n?1?x?n，n?N*)?数列{an}满足an?f(n)(n?N*) （I）求数列{an}的通项公式；
（II）设x轴、直线x?a与函数y?f(x)的图象所围成的封闭图形的面积为S(a)(a?0)，求S(n)?S(n?1)(n?N*)；
（III）在集合M?{N|N?2k，k?Z，且1000?k?1500}中，是否存在正整数N，使得不等式an?1005?S(n)?S(n?1)对一切n?N恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最
小的正整数N；若不存在，请说明理由.
（IV）请构造一个与{an}有关的数列{bn}，使得lim(b1?b2???bn)存在，并求出这个极限值.
n??解：（I）?n?N*
?f(n)?f(n?1)?n ……
将这n个式子相加，得
……1分
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n(n?1) ……3分 (n?N*)
2 （II）S(n)?S(n?1)为一直角梯形（n?1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为f(n?1)，f(n)，高为1
?an?1n(n?1)n(n?1)n2?]? ?[
2222 ……6分
（III）设满足条件的正整数N存在，则
又M?{2000，2002，?，2008，2010，2012，?，2998}
?N?2010，2012，……，2998均满足条件 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.
设共有m个满足条件的正整数N，则2010?2(m?1)?2998，解得m?495 ?M中满足条件的正整数N存在，共有495个，Nmin?2010 （IV）设bn?……9分
1211?2(?) ，即bn?ann(n?1)nn?111111111 则b1?b2???bn?2[(1?)?(?)?(?)???(?)]?2(1?)
22334nn?1n?11 显然，其极限存在，并且lim(b1?b2???bn)?lim[2?]?2 ……10分
n??n??n?12a2an1n?n1c 注：bn?（c为非零常数），bn?()，bn?qn?1(0?|q|?1)等都能使lim(b1?b2???bn)存在.
n??2an19. （本小题满分14分）
y2x2?1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2. 设双曲线2?3a （I）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；
（II）若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|?5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什
么曲线；
??（III）过点N(1，0)能否作出直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且OP·OQ?0.若存在，求出直线l的
22方程；若不存在，说明理由. 解：（I）?e?2，?c?4a
x23x ?1，渐近线方程为y?? ?双曲线方程为y?33 （II）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M?x，y?
2 4分
则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为103，短轴长为 （III）假设存在满足条件的直线l
设l：y?k(x?1)，l与双曲线交于P(x1，y1)、Q(x2，y2) 由（i）（ii）得k?3?0
∴k不存在，即不存在满足条件的直线l. 3. （本小题满分13分）
*103的椭圆.（9分） 32 14分
已知数列?an?的前n项和为Sn(n?N)，且Sn?(m?1)?man对任意自然数都成立，其中m为常数，且 （I）求证数列?an?是等比数列；
（II）设数列?an?的公比q?f(m)，数列?bn?满足：b1?m??1.
1a1，bn?f(bn?1) 3*(n?2，n?N)，试问当m为何值时，limbn(lgan)?lim3(b1b2?b2b3?b3b4?
n??n??…?bn?1bn)成立？
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解：（I）由已知Sn?1?(m?1)?man?1 Sn?(m?1)?man （2）
由(1)?(2)得：an?1?man?man?1，即(m?1)an?1?man对任意n?N*都成立 （II）当n?1时，a1?(m?1)?ma1 由题意知lg(1)
mm10?10，?m?? ?1，?m?19m?1 13分
4．（本小题满分12分）
x2y2设椭圆??1(a?b?0)的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆和x轴正半
a2b2轴于P，Q两点，且P分向量AQ所成的比为8∶5．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若过A,Q,F三点的圆恰好与直线l：x?3y?3?0相切，求椭圆方程．
解：（1）设点Q(x0,0),F(?c,0),其中c?a2?b2,A(0,b)． 由P分AQ所成的比为8∶5，得P(8513x0,13b)， 2分
∴(8213)2x0523a2?(13)?1?x0?2a．①， 4分
而FA?(c,b),AQ?(x0,?b),FA?AQ，
0．?cx2b2∴FA?AQ?0?b?0,x0?c．②， 5分
由①②知2b2?3ac,?2c2?3ac?2a2?0．
∴2e2?3e?2?0.?e?12． 6分
b2（2）满足条件的圆心为O?(?c22c,0)， b2?c2a2?c2?c22c?2c?c,?O?(c,0)， 8分 b2圆半径r?c?2a22?2c?a． 10分 由圆与直线l：x?3y?3?0相切得，|c?3|2?a，
又a?2c,?c?1,a?2,b?3．∴椭圆方程为x2y24?3?1． 12分 5．（本小题满分14分）
（理）给定正整数n和正数b，对于满足条件a21?an?1?b的所有无穷等差数列?an?，y?an?1?an?2???a2n?1的最大值，并求出y取最大值时?an?的首项和公差．
（文）给定正整数n和正数b，对于满足条件a21?an?1?b的所有无穷等差数列?an?，y?an?1?an?2???a2n?1的最大值，并求出y取最大值时?an?的首项和公差．
（理）解：设?an?公差为d，则an?1?a1?nd,nd?an?1?a1． 3分
?(n?1)an(n?1)n?1?2d 4分 ?n?12(3an?1?a1)． 7分 又a2?b,??a21?an?11??b?an?1．
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