证明：不妨设a?b?c，易证a?b?c?a??b?c?a?b??c?a?b?c?．由排序原理得
a2?b?c?a??b2?c?a?b??c2?a?b?c?
?a?b?c?a?b??b?c?a?b?c??c?a?b?c?a??3abc．
6．设x1?x2n???xn，y1?y2???yn．求证：
2??xi?yi?i?1???xi?zi?i?1n2．
其中z1，z2，…，zn是y1，y2，…，yn的任意一个排列． 证明：要证??xi?yi?i?1n2???xi?zi?i?1n2，只要证
??xi?1nii?1n2i?y???2xiyi???x?z2i2ii?1i?1n?nn?2i????2xz?．只要证
iii?1n?xy??xz．
iiii?1由题设及排序原理上式显然成立． 7．在?ABC中求证： （1）
1Asin2?1Bsin2?1Csin2?6；
（2）cotABC?cot?cot?33； 222证明：（1）考查函数y???1，其在??0,?上为凸函数； sinx?2?【最新整理，下载后即可编辑】
（2）考查函数f?x??lncot，在??0,x?x2?即证1?f?x1??f?x2???f??1?．
2?2?f?x1??f?x2??lncotx2??证明如下： ?上是凸函数．
?2?x1xxx?lncot2?lncot1cot22222
??? ???x?x2?2cos1?2?ln?1?x1?x2x1?x2?cos?cos?22??2lncotx?x2??2cos1??2??ln?1?x1?x2??1?cos??2??x1?x2?x?x2??2f?1?．证毕． 4?2? 8．设0?xi??，i?1，2，…，n．那么
1n?1n?（1）?sinxi?sin??xi?；
ni?1?ni?1???1n??（2）?sinxi??sin??xi??i?1??ni?1??nn．
证明：（1）考查函数f?x??sinx，其在?0,??上为凸函数． （2）考查函数f?x??lnsinx，其在?0,??上为凸函数．证明如下：
令x1，x2??0,??，则
sinx1sinx2?1?cos?x1?x2??cos?x1?x2?? 22x?x2?1???1?cos?x1?x2????sin1?22??【最新整理，下载后即可编辑】
．
将上述不等式两端取自然对数，得
lnsinx1?lnsinx2?2lnsinx1?x22，
即
lnsinx1?lnsinx2x?x2?lnsin122．
故函数f?x??lnsinx在?0,??上为凸函数． 由琴生不等式
1n?1n?lnsinxi?lnsin??xi?． ?ni?1?ni?1?故
??1n??sinxi??sin??xi???i?1??ni?1??nn．
4．平均值不等式 设a1,a2,,an?R?，对于n?N?，则
a12?a22?n?an2?a1?a2?n?an?na1a2an?n11??a1a21?an
其中等号当且仅当a1?a2?以下为阅读材料 5．贝努利不等式
?an时成立。
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（1）设
（2）设 （ⅰ）当
，则 时，有
，且同号，则
；
，上两式当且
（ⅱ）当 或 时，有仅当 时等号成立。 不等式（1）的一个重要特例是
（
）
6．艾尔多斯—莫迪尔不等式 设P为PE，PF，则
当且仅当等号。
内部或边界上一点，P到三边距离分别为PD，
，
为正三角形，且P为三角形中心时上式取
这是用于几何问题的证明和求最大（小）值时的一个重要
不等式。
7．幂平均不等式 8．权方和不等式
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高中竞赛之重要不等式(完整资料).doc
