物理类专业线性代数教学内容的探讨
张兴刚，戴丹
【摘 要】摘要：为了提高线性代数的教学效果，对教学理念、目标和内容等基本问题进行反思．结合信息时代物理类专业的特点，对物理类专业在线性代数课程中所应具备的知识和能力进行了分析，确立了新的教学目标．为实现新的教学目标，讨论了教学内容的设定问题．从梳理基本知识体系、加强几何直观、引入数学软件和融入实际应用等方面对传统教学内容进行改进． 【期刊名称】高师理科学刊 【年(卷),期】2017(037)005 【总页数】4
【关键词】线性代数；几何直观；科学计算；教学改革
1960年前后，线性代数被列入美国大学数学系本科的教学计划[1]．但是，美国早期线性代数的教学内容存在比较多的问题，不能适应时代的发展．于是，在1990年美国大学数学教育所进行的改革中，成立了线性代数课程研究组（LACSG）．由于美国大学在线性代数改革中降低了理论的抽象性，加强了应用实例，引入了计算技术，使得线性代数的教学面貌发生了很大的改变[2-3]．在国内，以传统方式进行的线性代数教学也面临着许多问题．教材缺乏几何直观，这使得本来就比较抽象的线性代数更加抽象难懂；课程内容往往与实际应用以及学生后续的课程脱节，很难引起学生的兴趣和注意；偏重数学理论的教学和练习，很少对学生的实际应用和科学计算能力提出要求．许多教师认识到了这些问题，对线性代数的改革和实践进行了积极的探索[4-8]．
教学的诸多要素中，教学内容是关键要素之一，教学内容及其组织形式是否恰
当，在很大程度上影响着教学及学生学习的效果．关于教学内容的改革，前人主要针对非数学类专业这一广泛的专业群体进行探讨，提出了许多值得借鉴的改革方案，也存在一些不同甚至相对立的观点[9]．然而，教学的实际过程非常具体，往往是针对某一个或某一小类专业，不同专业对线性代数的要求有共性也有差异．如何结合专业的特点，合理地确定教学内容和目标，使线性代数和其它课程相联系，从而奠定学生良好的数学基础和素质，这是一个重要的问题．本文针对物理类专业的学生，对线性代数教学内容和方式的改革进行了探讨．
1 教学的理念与目标
一门课程的教学是一项复杂的系统工程，其中涉及到许多繁杂且紧密相关的因素．从教师的角度来看，教学就是在一定的教学理念和目标的指导下，教师综合考虑教学内容、学生的特点和教学环境等因素，以恰当的方式与学生交流互动，进行教学安排，有效地促进学生素质和能力的提升，从而实现教学目标的过程．教学内容是整个教学中的关键要素之一，它是教学理念和目标的具体体现，是学生学习的核心，同时也是师生交流的主题．课程教学内容的确定涉及到教学理念及教学目标的设定．
社会的需要以及个人成长的需求，使得素质与能力的提升应该成为教育的基本目标．特别应该注意的是，学生在某一方面能力的提升往往不是通过一门课程的学习就能实现的，而是通过对多门关联程度高的课程的有效学习而实现．无论是管理层对于课程体系的设置，教师对于课程内容的设定，还是学生进行课程的学习，都应该特别重视课程之间的内在联系以及课程体系与素质能力培养的关系．
1.1 较高的教学要求
非数学专业中物理类专业的数学学习要求一般要高些．物理类专业的专业课程一般包括基础物理学（力学、热学、电磁学和光学）、四大力学（理论力学、电动力学、量子力学和统计力学）以及其它专业课．要学好这些专业课，需要学生具有微积分、线性代数、概率统计和数学物理方法等方面的知识基础，特别是具有良好的数学方面的素质和能力．当然，数学与物理的学习也是相互激励和促进的，通过物理的学习能提升数学建模和应用数学解决实际问题的能力，能建立起许多抽象数学问题的直觉．对于物理类专业的学生来说，线性代数除了能为相关数学及物理课程的学习提供知识基础，更重要的是能使学生在这门课程中了解一些重要的数学思想和理念，得到有关数学思维及能力的训练．线性代数的基本知识在物理学中一般都有直接的应用和体现，如恒力作用下的力学问题及线性电路问题一般会涉及线性方程组的理论，刚体转动及坐标变换问题涉及矩阵的知识，分析力学中体系能量的讨论涉及二次型．与其它非数学专业不太相同的是，物理类专业的学习要求学生对于空间有多层次、更深入的理解，因为时空本来就是物理学研究的基本对象．经典物理学以三维向量空间及相应的矢量代数为基础，狭义相对论中涉及四维时空，分析力学一般是在维的位形空间和相空间中讨论问题；特别是量子力学，其数学结构是希尔伯特空间，线性空间及线性变换是学习量子力学的基础．总之，物理类专业的线性代数教学应该有比较高的教学要求，特别地应该加强数形结合，加强学生对于线性空间以及线性变换的理解． 1.2 适当的科学计算能力
将物理学的理论用于解决实际问题，往往需要经过“物理建模——转化为数学
问题——求解数学问题”的过程．按照这样的方式解决实际的工程、技术和科研等方面的问题，通常会涉及到巨量的人工难以完成的运算，这促使人们发明了电子计算机．随着计算机以及信息技术的发展，将物理、数学和计算机结合起来解决复杂的工程、技术和科研等方面的问题越来越普遍，这也使得科学计算能力越来越应该成为理工科学生的基本能力之一．但是传统的物理类专业的培养方案中，比较侧重于理论和实验的教学．由于能严格地解析求解的物理问题很少，学生很容易处于学了理论却无法有效使用的尴尬境地．为了适应信息化时代的发展，提升学生将物理理论用于解决实际问题的能力，很有必要加强物理类专业学生科学计算能力的培养．由于大量的科学计算问题与线性代数密切相关，因此有必要在线性代数教学中适当地引入Matlab（或其它数学软件）的运用．这样不仅可以作为学生在科学计算方面的启蒙，在一定程度上激发学生学习和应用线性代数的兴趣，让学生有更多精力集中于数学思想的感悟和知识结构的理解，而不是把大量精力用于繁杂的计算．当然，适当的手算对于学生来说仍是非常必要的．
1.3 加强线性代数在实际问题中的应用
对于物理类专业的学生而言，学习线性代数的主要目的不是深入探究线性代数的逻辑体系，构造定理并对定理进行证明，而是了解线性代数中蕴含的数学思想，掌握线性代数中的重要概念、概念间的内在联系、重要的问题及解决问题的方法，并具备一定程度的将线性代数用于解决实际问题的能力．其中掌握重要的概念及理解概念间的内在联系是学习的核心，因为这２部分构成了描述相关物理概念及物理规律的数学语言．因此，线性代数的教学中不必过于强调逻辑结构的严密性，而应该适当地加强线性代数在实际问题中的应用．这样不仅
能加深和巩固有关数学知识的理解和掌握，提升学生应用线性代数知识解决实际问题的能力，从而适应后续课程的学习．还能使学生真正体会到线性代数的重要性，生动有趣的应用实例也能进一步激发学生学习线性代数的兴趣．
2 教学内容的改革
教学目标的实现有赖于多方面的因素，如教学内容、教学方法和手段、考核方式等，其中教学内容是关键因素．教学内容必须能切实地反映教学目标，否则教学目标就是空洞而无法实现的．教学改革前，线性代数教学内容只包含了传统线性代数中最基本的知识体系（见图1）．显然，按照以前的教学内容不可能实现现在的教学目标，因此必须对教学内容进行改进．基于现在的教学理念和目标，可以从加强几何直观，适当地引入数学软件，增加实际应用等方面对传统线性代数的教学内容进行改进．提出了以线性代数的基本知识体系为主，以数学软件以及应用实例为辅的新的教学内容体系． 2.1 线性代数的基本知识体系
线性代数不仅包括矩阵、线性方程组、向量空间和线性变换等初等的部分[10]，也包括张量空间和张量代数等高等的部分[11]，这些内容对于物理学来说都十分重要．但是从教学的角度，大部分低年级的本科生还是习惯于从形象到抽象、从具体到一般、从简单到复杂的认知模式，因此需要以学生容易接受的方式安排、选取以及组织教学内容．将改革后线性代数基本知识体系分为2大部分，即以矩阵为核心的代数部分和以线性空间为核心的几何部分．代数部分包括矩阵的运算及性质、矩阵的特征数（行列式、秩和特征值）、矩阵的标准形（等价、相似和合同）、线性方程组等内容，可以为许多实际问题（特别是几何问题）提供代数语言和工具．几何部分包括向量空间、线性空间、线性变换、内积空间
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