1163
∴SACBD＝|AB|×|CD|＝
29
－m2＋12，
4432
－6，6?，得－m2∈?－，0?， 由m∈?3??3?3?163
所以
9
3232?
－m2＋12∈??9，3?，
3232?
∴四边形ACBD面积的取值范围是??9，3?.
考点3 中点弦问题
x2y23
例4如图，椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，点M(－2，1)是椭圆内一点，过
ab2点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线l1，l2，设l1与椭圆C相交于点A，B，l2与椭圆C相交于点D，E.当点M恰好为线段AB的中点时，|AB|＝10.
(1)求椭圆C的方程； →→
(2)求AD·EB的最小值．
x2y2
【解析】(1)由题意设a＝4b，即椭圆C：2＋2＝1，
4bb
2
2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，E(x4，y4)．
222??x1＋4y1＝4b，由?作差得
222??x2＋4y2＝4b，
(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0， 又∵M(－2，1)，即x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2， y1－y21∴AB斜率k＝＝.
x1－x22x2y2
＋＝1，4b2b2由
1
y＝x＋2，2
???
消y得，x2＋4x＋8－2b2＝0.
则|AB|＝2
1＋k2|x1－x2|＝1＋
14
16－4（8－2b2）＝10.
x2y2
解得b＝3，于是椭圆C的方程为：＋＝1.
123
22xy??12＋3＝1，
(2)设直线AB：y＝k(x＋2)＋1，由?消y得，
??y＝k（x＋2）＋1
(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－12＝0.
－8k（2k＋1）4（2k＋1）2－12
于是x1＋x2＝，x1·x2＝. 22
1＋4k1＋4k→→→→→→→→→→
AD·EB＝(AM＋MD)·(EM＋MB)＝AM·MB＋EM·MD
＝(－2－x1，1－y1)·(2＋x2，y2－1)＋(－2－x4，1－y4)·(2＋x3，y3－1)， ∵(－2－x1，1－y1)·(2＋x2，y2－1) ＝－(1＋k2)(2＋x1)(2＋x2)
2
4（1＋k）2
＝－(1＋k)[4＋2(x1＋x2)＋x1x2]＝.
1＋4k2
4（1＋k2）
同理可得(－2－x4，1－y4)·(2＋x3，y3－1)＝. 2
4＋k11?20（1＋k）→→2?＋∴AD·EB＝4(1＋k)?1＋4k24＋k2?＝， ??（1＋4k2）（4＋k2）16＝，当k＝±1时取等号．
?1＋4k2＋4＋k2?25??
2??20（1＋k2）2
2
2
≥
16→→
综上，AD·EB的最小值为.
5
【点评】处理中点弦问题常用的求解方法
(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有y1－y2
x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即
x1－x2可求得斜率．
(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．
方 法 总 结 【p160】
1．本讲研究的问题集中体现了解析几何的基本思想和方法，要求有较强的分析问题和解决问题的能力，有些问题涉及到代数、三角、几何等多方面的知识，因此在复习中要注意各学科之间的联系，提高综合利用知识解决问题的能力．
2．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，通过消元最终归结为讨论方程Ax2＋Bx＋C＝0的实数解的个数问题．应特别注意要分A＝0和A≠0的两种情况讨论，只有A≠0时，才可用判别式来确定解的个数．当直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线只有一个公共点．这些情况在解题中往往容易疏忽，要特别注意．对于选择、填空题，用数形结合方法求解，往往快速简捷．
1
3．斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB的长|AB|＝|x1－x2|·1＋k2＝|y1－y2|·1＋2k(k≠0)，利用这个公式求弦长时，应注意应用韦达定理与判别式．与焦点弦长有关的问题，要注意应用圆锥曲线的定义．与弦长中点有关问题，注意利用点差法简化运算．
走 进 高 考 【p160】
x2
1．(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B
2两点，点M的坐标为(2，0)．
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； (2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.
【解析】(1)由已知得F(1，0)，l的方程为x＝1. 由已知可得，点A的坐标为1，所以AM的方程为y＝－
??2??2?或1，－. 2??2?
22x＋2或y＝x－2. 22
(2)当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂线平分线，所以∠OMA＝∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， y1y2则x1<2，x2<2，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝＋.
x1－2x2－2由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得
2kx1x2－3k（x1＋x2）＋4k
kMA＋kMB＝.
（x1－2）（x2－2）x22
将y＝k(x－1)代入＋y＝1得
2(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0. 2k2－24k2
所以，x1＋x2＝2，x1x2＝2.
2k＋12k＋1
4k3－4k－12k3＋8k3＋4k
则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0. 2
2k＋1从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补． 所以∠OMA＝∠OMB. 综上，∠OMA＝∠OMB.
考 点 集 训 【p270】
A组题
x2y2
1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x＋y＝4相切，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1
95
2
2
的交点个数是( )
A．至多为1 B．2 C．1 D．0
【解析】由题意知：
4m2＋n2
＝2，即
m2＋n2＝2，
x2y2
∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2.
95
【答案】B 2．已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为( )
A．y2＝4x B．y2＝－4x C．x2＝4y D．y2＝8x
【解析】设抛物线方程为y2＝2px， 直线与抛物线方程联立求得x2－2px＝0， ∴xA＋xB＝2p， ∵xA＋xB＝2×2＝4，
∴p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x. 【答案】A
x2y22
3．已知椭圆C的方程为＋2＝1(m>0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x
16m2轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为( )
A．2 B．22 C．8 D．23 【解析】根据已知条件得c＝1(m>0)上，
16－m216－m2
∴＋＝1，可得m＝22.
162m2【答案】B
y2
4．已知双曲线x－＝1，过点P(1，1)作直线l与双曲线交于A，B两点，使点P是线
2
2
16－m，则点(2
2
16－m，2
2
x2y2
16－m)在椭圆＋2＝
16m
2
段AB的中点，那么直线l的方程为( )
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x－2y＋1＝0 D．不存在
【解析】根据题意，设过点P(1，1)的直线方程为y＝k(x－1)＋1或x＝1，当k存在时，
??y＝k（x－1）＋1，2222
2有?得(2－k)x＋(2k－2k)x－k＋2k－3＝0(*)，当直线与双曲线有两个不y2
??x－2＝1，
3同交点时，必有Δ＝(2k2－2k)2－4(2－k2)(－k2＋2k－3)>0，解得k<，
2
2k2－2k
又方程(*)的两个不同的根是两交点A，B的横坐标，所以x1＋x2＝－，又P(1，2
2－kx1＋x2k2－k3
1)为线段AB的中点，所以＝1，即－＝1，解得k＝2，不满足k<，当直线为x
222－k2＝1时不满足条件，所以符合条件的直线l不存在，故选D.
【答案】D
y2
5．过双曲线x－＝1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若使得|AB|＝λ的直线
2
2
l恰有3条，则λ＝________．
【解析】∵使得|AB|＝λ的直线l恰有3条．
2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学第十章直线与圆 - 圆锥曲第70讲 直线与圆锥曲线
