第70讲 直线与圆锥曲线
夯实基础 【p159】
【学习目标】
1．掌握直线与圆锥曲线位置关系的判断方法．
2．掌握直线被圆锥曲线所截弦长及中点弦问题的求解方法． 3．能够综合应用方程思想及圆锥曲线的几何性质解决有关直线与圆锥曲线的综合问题． 4．理解数形结合的思想．
【基础检测】
x2y2
1．过原点的直线l与双曲线－＝1有两个交点，则直线l的斜率的取值范围是( )
43A.?－
?
33?33
B.?0，?∪?－，0? ，22?2??2??33?33
D.?－∞，－?∪?，＋∞? ，
22?2??2??
3333
x和y＝－x.由几何性质可得－ C.?－ ? 【解析】双曲线的渐近线为y＝ 【答案】A 2．设F为抛物线C：y2＝8x的焦点，过F作倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( ) 32 A. B．16 C．32 D．43 3 【解析】由题意知F(2，0)，AB所在直线方程为y＝tan 30°(x－2)＝＝8x消元得y2－83y－16＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝83，y1·y2＝－16， 所以|AB|＝【答案】C x2y23 3．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，且 ab2线段AB的中点为M(－2，1)，则直线l的斜率为( ) 131 A. B. C. D．1 322 22 c3c2a－b3 【解析】由e＝＝得2＝2＝，∴a2＝4b2， a2aa4 3 (x－2)，联立y23 1＋364×3＋4×16＝32. 则椭圆方程为x2＋4y2＝4b2， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2， 222??x1＋4y1＝4b， 把A，B的坐标代入椭圆方程得? 222?x2＋4y2＝4b，? 两式相减得：(x1－x2)(x1＋x2)＝－4(y1－y2)(y1＋y2)， y1－y2 1 ＝－＝， x1－x24（y1＋y2）2 x1＋x2 则 1∴直线l的斜率为. 2【答案】C x22 4．直线l与椭圆C：＋y＝1相交于A，B两点，l与x轴，y轴分别相交于C，D两 2点．如果C，D是线段AB的两个三等分点，则直线l的斜率为________． m －，0?，【解析】由题意，设直线l的方程为y＝kx＋m(km≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C??k?D(0，m)， ??y＝kx＋m， 联立?x2可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， ＋y2＝1??2 Δ＝16k2－8m2＋8>0， 2m2－2 由韦达定理可得x1＋x2＝，x1x2＝， 1＋2k21＋2k2 －4km ∵C，D是线段AB的两个三等分点， ∴线段AB的中点与线段CD的中点重合． m2 ∴x1＋x2＝＝0－，解得k＝±. k21＋2k22 【答案】± 2 【知识要点】 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程． －4km ??Ax＋By＋C＝0即?，消去y后得ax2＋bx＋c＝0. ??f（x，y）＝0 (1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0?直线和圆锥曲线C相交于不同的两点；Δ＝0?直线和圆锥曲线C相切于一点；Δ<0?直线和圆锥曲线C没有公共点． (2)当a＝0时，若圆锥曲线是双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行或重合；若圆锥曲线是抛物线，则直线l与抛物线的__对称轴__平行(或重合)． 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦． (2)圆锥曲线弦长的计算 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝11＋2|y1－y2|(抛物线的焦点弦长k2p|AB|＝x1＋x2＋p＝2，θ为弦AB所在直线的倾斜角)． sinθ典 例 剖 析 【p159】 考点1 直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用 例1(1)过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( ) A．有且只有一条 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有且只有四条 p 【解析】设抛物线的焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋＋ 2p xB＋＝xA＋xB＋1＝2＋1＝3>2p＝2.所以符合条件的直线有两条． 2 【答案】B (2)设a，b是关于t的方程t2cos θ＋tsin θ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，x2y2 b)两点的直线与双曲线2－2＝1的公共点的个数为( ) cosθsinθ 2 A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】关于t的方程t2cos θ＋tsin θ＝0的两个不等实根为0，－tan θ(tan θ≠0)，则x2y2 过A，B两点的直线方程为y＝－xtan θ，双曲线2－2＝1的渐近线方程为y＝±xtan cosθsinθθ，所以直线y＝－xtan θ与双曲线没有公共点．故选A. 【答案】A x2y2 例2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1，0)， ab且点P(0，1)在C1上． (1)求椭圆C1的方程； (2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程． 【解析】(1)根据椭圆的左焦点为F1(－1，0)，知a2－b2＝1，又根据点P(0，1)在椭圆上，x2 知b＝1，所以a＝2，所以椭圆C1的方程为＋y2＝1. 2 (2)因为直线l与椭圆C1和抛物线C2都相切， 所以其斜率存在且不为0， 设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)， x2 代入椭圆方程得＋(kx＋m)2＝1， 21 ＋k2?x2＋2kmx＋m2－1＝0， 即?2??由题意可知此方程有唯一解， 1 ＋k2?(m2－1)＝0， 此时Δ＝4k2m2－4??2?即m2＝2k2＋1.① k 把y＝kx＋m(k≠0)代入抛物线方程得y2－y＋m＝0，由题意可知此方程有唯一解，此 4时Δ＝1－mk＝0， 即mk＝1.② 22??m＝2k＋1，1 联立①②得?解得k2＝， 2 ?mk＝1，? ?k＝2，?k＝－2，??22所以?或? ??m＝2，??m＝－2， 所以直线l的方程为y＝ 22 x＋2或y＝－x－2. 22 【点评】研究直线与圆锥曲线位置关系的方法 研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方 程组解的个数．对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解． 考点2 弦长问题 x2y2b 例3已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l1：y＝x与椭圆相交 abc于A、B两点，椭圆的上顶点E与焦点F2关于直线l1对称，且|EF2|＝22.斜率为－1的直 线l2与线段AB相交于点P，与椭圆相交于C，D两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求四边形ACBD面积的取值范围． bb 【解析】(1)由顶点E与焦点F2关于直线l1：y＝x对称，知＝1，即b＝c， cc又|EF2|＝22，得b2＋c2＝8，a2＝8， x2y2 所以椭圆方程为＋＝1. 84 (2)设直线l2的方程为y＝－x＋m，C(x1，y1)，D(x2，y2)， xy??8＋4＝1，由?得3x2－4mx＋2m2－8＝0， ??y＝－x＋m， 2 2 ??所以? 2m－8 ??xx＝3， 2 12 4x1＋x2＝m， 3 222283－6，－6?，B?6，6?，得|AB|＝由(1)知直线l1：y＝x，代入椭圆得A?. 3?3??3?3344 －6，6?， 由直线l2与线段AB相交于点P，得m∈?3??3|CD|＝2|x1－x2|＝2（x1＋x2）2－8x1x2 2 ＝2 16m24（2m－8）4 －＝933 －m2＋12， 而kl2＝－1与kl1＝1，知l2⊥l1，
2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学第十章直线与圆 - 圆锥曲第70讲 直线与圆锥曲线
