高中数学一个不可忽视的集合——空集
集合是高中数学中一个重要概念，与数学中许多内容有着广泛的联系，同时作为一种思想、一种语言、一种工具渗透到了其他学科之中。本文通过几例来说明空集的存在，从而进一步了解空集的性质。
一、不了解空集的定义而忽略空集的存在
例1. A?B??，M＝{P|P为A的子集}，N＝{Q|Q为B的子集}，那么（ ） A. M?N?? B. M?N?{?} C. M?N?A?B
≠ 解：由于A、B的子集中都有?，即??A，??B，而?相对M、N来说是作为一个元素的身份出现，则M?N?{?}，应选B。
二、在集合的运算过程中，不了解空集的性质而忽视空集的存在
例2. 设集合A?{x|x2?4x?0}，B?{x|x2?2(a?1)x?a2?1?0}，若A?B，求实数a的范围。
解：A＝{x|x2?4x?0}?{0，?4}。由B?A，得B＝?，或{0}，或{－4}，或{0，－4}。
①当B＝?时，???(a?1?2?4(a2?1)?0，解得a??1。
D. M?N?A?B
?2(a?1)?0 ②当B＝{0}时，由两根为0及韦达定理得?2，解得a＝－1。
?a?1?0?2(a?1)?8 ③当B＝{－4}时，由两根为－4及韦达定理得?2，无解。
?a?1?16?2(a?1)?4 ④当B＝{0，－4}时，由韦达定理得?2，解得a＝1。
?a?1?0 综上①②③④知，所求实数a的范围为(??，?1]?{1}。
三、不了解空集的实质而忽视空集的存在
例3. 已知A?{x|x?3x?10?0}，B?{x|m?1?x?2m?1}，若A?B＝A，求实数m的范围。
分析：由A?B?A，得B?A。而B是由参数m所确定的集合，m在不同的范围内，可能使得B为非空数集，也可能使得B为空集。 解：A?{x|x?3x?10?0}?{x|?2?x?5}
①若m?1?2m?1，即m?2时，B??，适合题意。 ②若m?1?2m?1，即m?2时，B?{3}，适合题意。 ③若m?1?2m?1，即m?2时，要使B?A成立，只需? 解得?3?m?3。从而可得2?m?3，适合题意。 综上①②③知，所求m的范围应为(??，3]
［练一练］
22?2m?1?5
?m?1??2 若集合M＝{2005，6，7}，集合N＝{x|x?M}，则集合M与N的关系是（ ） A. M＝N
B. M?N
C. M?N
D. M?N??
答案：A
提示：N?{x|x?M}，则x?N?x?M，可得N?M。又x?M?x?M，则M?N。
高中数学一个不可忽视的集合——空集专题辅导
